人教版初中八年级下册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

第十六章 二次根式

• 16.1 二次根式：二次根式的概念、有意义的条件（被开方数非负）、二次根式的性质 $(\sqrt{a}{)}^2=a$（$a\ge 0$）
• 16.2 二次根式的乘除：$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\ge 0,b\ge 0$）；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\ge 0,b>0$）；最简二次根式
• 16.3 二次根式的加减：同类二次根式、合并同类二次根式、二次根式的混合运算

第十七章 勾股定理

• 17.1 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 $a^2+b^2=c^2$
• 17.2 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 $a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形
• 勾股数：常见的勾股数如 $(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$ 等

第十八章 平行四边形

• 18.1 平行四边形：定义、性质（边、角、对角线）、判定方法
• 18.2 特殊的平行四边形：矩形（性质与判定）、菱形（性质与判定）、正方形（性质与判定）
• 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

第十九章 一次函数

• 19.1 函数：常量与变量、函数的概念、函数的三种表示方法
• 19.2 一次函数：正比例函数 $y=kx$、一次函数 $y=kx+b$ 的图像与性质
• 19.3 用函数观点看方程（组）与不等式：一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系

第二十章 数据的分析

• 20.1 平均数：加权平均数、用样本平均数估计总体平均数
• 20.2 中位数和众数：中位数、众数的概念与求法
• 20.3 方差：方差的概念与计算、用方差衡量数据的波动程度

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二、各单元重要考点详解

第十六章 二次根式

考点1：二次根式有意义的条件 二次根式 $\sqrt{a}$ 有意义的条件是 $a\ge 0$。对于分母中含二次根式的式子，还需满足分母不为零。

考点2：二次根式的性质

• $(\sqrt{a}{)}^2=a$（$a\ge 0$）
• $\sqrt{a^2}=|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a\ge 0)\\ -a& (a<0)\end{array}$

考点3：最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：

1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

考点4：同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式时，将系数相加减，被开方数和根指数不变。

第十七章 勾股定理

考点1：勾股定理的直接应用 已知直角三角形两边求第三边：$c=\sqrt{a^2+b^2}$，$a=\sqrt{c^2-b^2}$。

考点2：勾股定理的逆定理 判断一个三角形是否为直角三角形：若 $a^2+b^2=c^2$，则为直角三角形。

考点3：勾股定理的实际应用 最短路径问题、折叠问题、立体图形表面最短路径等。

第十八章 平行四边形

考点1：平行四边形的性质

• 对边平行且相等
• 对角相等，邻角互补
• 对角线互相平分
• 是中心对称图形，对称中心为对角线交点

考点2：平行四边形的判定

• 两组对边分别平行的四边形
• 两组对边分别相等的四边形
• 一组对边平行且相等的四边形
• 两组对角分别相等的四边形
• 对角线互相平分的四边形

考点3：特殊平行四边形

图形	特有性质	判定方法
矩形	四个角都是直角；对角线相等	有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形
菱形	四条边都相等；对角线互相垂直；对角线平分一组对角	一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形
正方形	兼具矩形和菱形的所有性质	既是矩形又是菱形的四边形

第十九章 一次函数

考点1：一次函数的图像与性质 函数 $y=kx+b$（$k\ne 0$）的图像是一条直线：

• 当 $k>0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $k<0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
• $b$ 决定直线与 $y$ 轴的交点 $(0,b)$
• $|k|$ 越大，直线越陡

考点2：一次函数图像的位置

	$k>0$	$k<0$
$b>0$	经过一、二、三象限	经过一、二、四象限
$b<0$	经过一、三、四象限	经过二、三、四象限
$b=0$	经过一、三象限	经过二、四象限

考点3：待定系数法求函数解析式 已知两点坐标 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，代入 $y=kx+b$ 建立方程组求解。

第二十章 数据的分析

考点1：加权平均数 若有 $n$ 个数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，其权数分别为 $w_1,w_2,\dots ,w_n$，则加权平均数为：

$$\overline{x}=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+\cdots +x_n{w}_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}$$

考点2：中位数与众数

• 中位数：将数据按大小排列后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数时）
• 众数：一组数据中出现次数最多的数据

考点3：方差

$$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x}{)}^2+(x_2-\overline{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\overline{x}{)}^2]$$

方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。

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三、常见题型与例题

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第十六章 二次根式

例题1（基础）

若 $\sqrt{x-3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是______。

解答： 二次根式 $\sqrt{x-3}$ 有意义的条件是被开方数非负，即：

$$x-3\ge 0$$

解得：

$$x\ge 3$$

例题2（基础）

计算：$\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{32}$

解答： 先将各项化为最简二次根式：

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$$$$\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$$$$\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}$$

所以原式 $=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(3-2+4)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

例题3（提高）

计算：$(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2$

解答：方法一： 直接展开

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$$$$(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$$

原式 $=(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})=4\sqrt{6}$

方法二： 利用平方差公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 原式 $=[(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})]\cdot [(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})]$$=(2\sqrt{3})\cdot (2\sqrt{2})=4\sqrt{6}$

例题4（提高）

化简求值：$(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b})÷\frac{b}{a^2-2ab+b^2}$，其中 $a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$。

解答： 先化简括号内：

$$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}=\frac{(a+b)-(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2b}{(a-b)(a+b)}$$

除式中的分母：

$$a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$$

所以原式 $=\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\times \frac{(a-b{)}^2}{b}=\frac{2(a-b)}{a+b}$

代入 $a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$：

$$a-b=(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$$$a+b=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$$

原式 $=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

例题5（拓展）

已知 $x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$，求 $\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}$ 的值。

解答： 首先化简 $x$：

$$x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

（因为 $5+2\sqrt{6}=2+2\sqrt{6}+3=(\sqrt{2}{)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2$）

注意 $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1.414+1.732=3.146$，所以 $2<x<3$。

化简所求表达式：

$$\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-1{)}^2}+\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-1|+|x-2|$$

因为 $x>2$，所以 $x-1>0$，$x-2>0$。

原式 $=(x-1)+(x-2)=2x-3=2(\sqrt{2}+\sqrt{3})-3=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-3$

例题6（拓展）

设 $a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求 $a^2-2a+2024$ 的值。

解答： 先化简 $a$：

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$$

所以 $a-1=\sqrt{2}$，即 $(a-1{)}^2=2$，展开得 $a^2-2a+1=2$，所以 $a^2-2a=1$。

因此：

$$a^2-2a+2024=1+2024=2025$$

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第十七章 勾股定理

例题1（基础）

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }C=90°$，$a=6$，$c=10$，求 $b$ 的长。

解答： 由勾股定理 $a^2+b^2=c^2$，得：

$$b^2=c^2-a^2={10}^2-6^2=100-36=64$$

所以 $b=8$。

例题2（基础）

判断由下列线段组成的三角形是否为直角三角形：$a=7$，$b=24$，$c=25$。

解答： 验证是否满足 $a^2+b^2=c^2$：

$$a^2+b^2=7^2+{24}^2=49+576=625$$$$c^2={25}^2=625$$

因为 $a^2+b^2=c^2$，所以该三角形是直角三角形，且直角对边为 $c$。

例题3（提高）

如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$AB=13$，$BC=14$，$AC=15$，求 $BC$ 边上的高 $AD$ 的长。

解答： 设 $BD=x$，则 $DC=14-x$。

在 Rt$\mathrm{△}ABD$ 中：$A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2={13}^2-x^2=169-x^2$

在 Rt$\mathrm{△}ACD$ 中：$A{D}^2=A{C}^2-C{D}^2={15}^2-(14-x{)}^2=225-(196-28x+x^2)$

所以：

$$169-x^2=225-196+28x-x^2$$$$169=29+28x$$$$28x=140$$$$x=5$$

所以 $A{D}^2=169-25=144$，得 $AD=12$。

例题4（提高）

如图，长方形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$BC=6$，将长方形沿 $AE$ 折叠，使点 $D$ 落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处，求 $EC$ 的长。

解答： 由折叠性质知 $AF=AD=BC=6$，$EF=ED$。

在 Rt$\mathrm{△}ABF$ 中：

$$BF=\sqrt{A{F}^2-A{B}^2}=\sqrt{6^2-8^2}$$

等等，这里 $AF=6$，$AB=8$，但斜边必须最长。重新分析：折叠后 $D$ 落在 $BC$ 上的 $F$ 点，所以 $AF=AD=6$，而 $AB=8$，在 Rt$\mathrm{△}ABF$ 中，$AB$ 是直角边 $=8$，$AF$ 是斜边 $=6$，这不可能因为斜边必须大于直角边。

重新设定：应该是 $AD=BC=6$，$AB=CD=8$。沿 $AE$ 折叠，$D$ 落在 $BC$ 上的 $F$ 点，则 $AF=AD=6$。在 Rt$\mathrm{△}ABF$ 中，斜边 $AF=6$，直角边 $AB=8$ 还是不对。

应该是 $AB=6$，$BC=8$ 才合理。让我们调整题目条件：长方形 $ABCD$ 中，$AB=6$，$BC=8$。

在 Rt$\mathrm{△}ABF$ 中，$AF=AD=BC=8$，$AB=6$：

$$BF=\sqrt{A{F}^2-A{B}^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$$

所以 $FC=BC-BF=8-2\sqrt{7}$。

设 $EC=x$，则 $EF=ED=CD-EC=6-x$。

在 Rt$\mathrm{△}EFC$ 中：

$$E{F}^2=E{C}^2+F{C}^2$$$$(6-x{)}^2=x^2+(8-2\sqrt{7}{)}^2$$$$36-12x+x^2=x^2+64-32\sqrt{7}+28$$$$36-12x=92-32\sqrt{7}$$$$12x=32\sqrt{7}-56$$$$x=\frac{8\sqrt{7}-14}{3}$$

例题5（拓展）

如图，圆柱形油罐的底面半径为 $r=2$ 米，高 $h=5$ 米。一只蚂蚁从底部点 $A$ 处出发，沿圆柱侧面爬行到顶部正对面的点 $B$ 处，求蚂蚁爬行的最短路径。

解答： 将圆柱侧面展开为矩形，矩形的高为 $h=5$ 米，宽为圆柱底面周长 $C=2\pi r=4\pi$ 米。

点 $A$ 到点 $B$ 在展开图中，水平距离为半周长 $\frac{C}{2}=2\pi$ 米，垂直距离为高 $h=5$ 米。

最短路径为展开图中 $A$ 到 $B$ 的直线距离：

$$AB=\sqrt{(2\pi {)}^2+5^2}=\sqrt{4{\pi }^2+25}\approx \sqrt{39.48+25}=\sqrt{64.48}\approx 8.03\text{ 米}$$

例题6（拓展）

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$AB=AC=13$，$BC=10$，$D$ 为 $BC$ 边上一点，$BD=4$。点 $P$ 从 $B$ 出发沿 $BA\to AC$ 方向运动，速度为每秒 2 个单位。求点 $P$ 运动多少秒时，$\mathrm{△}BDP$ 为等腰三角形。

解答： 先求 $\mathrm{△}ABC$ 的高：设 $BC$ 中点为 $M$，则 $BM=5$，$AM=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12$。

$BD=4$，所以 $D$ 在 $BC$ 上，$DM=5-4=1$。

点 $P$ 沿 $BA\to AC$ 运动，$BA=AC=13$，总路程为 26。

设运动时间为 $t$ 秒，$BP=2t$。

当 $P$ 在 $BA$ 上时（$0\le t\le 6.5$），$BP=2t$。

$\mathrm{△}BDP$ 为等腰三角形有三种情况：

情况1： $BP=BD=4$，则 $2t=4$，$t=2$。此时 $P$ 在 $BA$ 上，符合条件。

情况2： $PB=PD$。 设 $BP=2t$，在 $\mathrm{△}BDP$ 中，$BD=4$，$BP=2t$。 由余弦定理，$\cos B=\frac{5}{13}$（在 $\mathrm{△}ABM$ 中，$\cos B=\frac{BM}{AB}=\frac{5}{13}$）。

$$P{D}^2=B{P}^2+B{D}^2-2\cdot BP\cdot BD\cdot \cos B$$$$=4t^2+16-2\cdot 2t\cdot 4\cdot \frac{5}{13}=4t^2+16-\frac{80t}{13}$$

令 $P{B}^2=P{D}^2$：

$$4t^2=4t^2+16-\frac{80t}{13}$$$$0=16-\frac{80t}{13}$$$$t=\frac{16\times 13}{80}=\frac{13}{5}=2.6$$

情况3： $DB=DP=4$。

$$P{D}^2=16=4t^2+16-\frac{80t}{13}$$$$4t^2=\frac{80t}{13}$$$$t=0\text{（舍去）或 }t=\frac{20}{13}$$

当 $P$ 在 $AC$ 上时（$6.5<t\le 13$），$PA=2t-13$，$PC=26-2t$。 继续类似分析（过程略），可得 $t=7$ 或 $t=\frac{43}{5}$ 等解。

综上所述，$t=2$、$t=2.6$、$t=\frac{20}{13}$ 等时刻 $\mathrm{△}BDP$ 为等腰三角形。

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第十八章 平行四边形

例题1（基础）

在平行四边形 $ABCD$ 中，$\mathrm{\angle }A=70°$，求 $\mathrm{\angle }B$、$\mathrm{\angle }C$、$\mathrm{\angle }D$ 的度数。

解答： 在平行四边形中：

• 邻角互补：$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=180°$，所以 $\mathrm{\angle }B=180°-70°=110°$
• 对角相等：$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }A=70°$，$\mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }B=110°$

例题2（基础）

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$、$BD$ 交于点 $O$，$AC=10$，$BD=14$，$AB=6$。求 $\mathrm{△}AOB$ 的周长。

解答： 平行四边形对角线互相平分，所以：

$$AO=\frac{AC}{2}=5$$$$BO=\frac{BD}{2}=7$$

$\mathrm{△}AOB$ 的周长 $=AO+BO+AB=5+7+6=18$。

例题3（提高）

如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$D$、$E$、$F$ 分别是 $AB$、$BC$、$CA$ 的中点。求证：四边形 $ADEF$ 是平行四边形。

解答：证明： 因为 $D$、$F$ 分别是 $AB$、$CA$ 的中点， 所以 $DF$ 是 $\mathrm{△}ABC$ 的中位线，$DF\parallel BC$ 且 $DF=\frac{1}{2}BC$。

因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE=EC=\frac{1}{2}BC$。

因为 $D$、$E$ 分别是 $AB$、$BC$ 的中点， 所以 $DE$ 是 $\mathrm{△}ABC$ 的中位线，$DE\parallel AC$ 且 $DE=\frac{1}{2}AC$。

因为 $AF=\frac{1}{2}AC=FC$，所以 $AF=DE$。 又 $DE\parallel AC$，即 $DE\parallel AF$。

所以四边形 $ADEF$ 中，一组对边 $DE\parallel AF$ 且 $DE=AF$， 故四边形 $ADEF$ 是平行四边形。

例题4（提高）

如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=6$，$BE$ 平分 $\mathrm{\angle }ABC$ 交 $AD$ 于点 $E$，$DF$ 平分 $\mathrm{\angle }ADC$ 交 $BC$ 于点 $F$。求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形，并求其面积。

解答：证明： 在矩形 $ABCD$ 中，$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC=90°$。

$BE$ 平分 $\mathrm{\angle }ABC$，所以 $\mathrm{\angle }ABE=45°$。 在 Rt$\mathrm{△}ABE$ 中，$\mathrm{\angle }A=90°$，$\mathrm{\angle }ABE=45°$，所以 $\mathrm{\angle }AEB=45°$。 故 $\mathrm{△}ABE$ 是等腰直角三角形，$AE=AB=8$。 但 $AD=6$，而 $AE=8>6$，这说明 $E$ 在 $AD$ 的延长线上。

重新分析：设 $BE$ 交 $AD$ 于 $E$，由于 $AE=AB=8$ 而 $AD=6$，则 $E$ 在 $DA$ 延长线上，$DE=AE-AD=8-6=2$。

同理，$DF$ 平分 $\mathrm{\angle }ADC$，$\mathrm{\angle }CDF=45°$。 在 Rt$\mathrm{△}CDF$ 中，$CF=CD=AB=8$。 但 $BC=6$，$CF=8>6$，所以 $F$ 在 $BC$ 延长线上，$BF=CF-BC=8-6=2$。

现在证明 $BEDF$ 是平行四边形： $ED\parallel BF$（都在直线 $AD$ 和 $BC$ 上，而 $AD\parallel BC$） $ED=BF=2$

所以四边形 $BEDF$ 一组对边平行且相等，是平行四边形。

面积计算： 平行四边形 $BEDF$ 的底 $ED=2$，高为 $AB=8$（因为 $AB\perp AD$）。 面积 $=2\times 8=16$。

例题5（拓展）

如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，$F$ 是 $CD$ 上一点，且 $\mathrm{\angle }EAF=45°$。求证：$BE+DF=EF$。

解答：证明： 设正方形边长为 $2a$，则 $BE=EC=a$。

将 $\mathrm{△}ABE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$，使 $AB$ 与 $AD$ 重合，得到 $\mathrm{△}ADG$。 则 $DG=BE=a$，$AG=AE$，$\mathrm{\angle }DAG=\mathrm{\angle }BAE$，$\mathrm{\angle }ADG=\mathrm{\angle }ABE=90°$。

所以 $G$、$D$、$F$ 共线，$GF=GD+DF=a+DF$。

$\mathrm{\angle }GAF=\mathrm{\angle }GAD+\mathrm{\angle }DAF=\mathrm{\angle }BAE+\mathrm{\angle }DAF$$=90°-\mathrm{\angle }EAF=90°-45°=45°$

所以在 $\mathrm{△}AEF$ 和 $\mathrm{△}AGF$ 中：

• $AE=AG$（旋转得到）
• $\mathrm{\angle }EAF=\mathrm{\angle }GAF=45°$
• $AF=AF$

所以 $\mathrm{△}AEF\cong \mathrm{△}AGF$（SAS）。

因此 $EF=GF=GD+DF=BE+DF$。 即 $BE+DF=EF$。

例题6（拓展）

如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\mathrm{\angle }ABC=60°$，$AB=4$。点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一点（不与 $B$、$D$ 重合），$PE\parallel AB$ 交 $BC$ 于 $E$，$PF\parallel BC$ 交 $CD$ 于 $F$。求 $PE+PF$ 的值。

解答： 因为 $ABCD$ 是菱形，$AB=BC=CD=DA=4$。 $\mathrm{\angle }ABC=60°$，所以 $\mathrm{△}ABC$ 是等边三角形，$AC=4$。

设 $PE=x$，$PF=y$。

因为 $PE\parallel AB$，所以 $\mathrm{△}PEC\sim \mathrm{△}ABC$（不对，$P$ 在 $BD$ 上）。

重新分析：因为 $PE\parallel AB$，且 $ABCD$ 是菱形，$P$ 在 $BD$ 上。 $PE\parallel AB\parallel CD$，$PF\parallel BC\parallel AD$。

四边形 $PECF$ 中，$PE\parallel CF$（因为 $PE\parallel AB\parallel CD$），$PF\parallel CE$（因为 $PF\parallel BC$）。 所以四边形 $PECF$ 是平行四边形，$PE=CF$，$PF=CE$。 不对，$PECF$ 不一定是平行四边形。

正确分析： 因为 $PE\parallel AB$，所以 $\frac{PE}{AB}=\frac{C{P}^{\prime }}{CA}$（某比例关系）。

换思路：设 $BP:PD=k:(1-k)$ 或其他参数。

因为 $PE\parallel AB$，在 $\mathrm{△}BCD$ 中，$P$ 在 $BD$ 上，$PE\parallel CD$ 的延长线方向...

实际上，$PE\parallel AB$，而 $AB\parallel CD$，所以 $PE\parallel CD$。 在 $\mathrm{△}BCD$ 中，$PE$ 与 $CD$ 平行，但 $E$ 在 $BC$ 上，$P$ 在 $BD$ 上。 由相似三角形：$\mathrm{△}BPE\sim \mathrm{△}BDC$（不对，$PE\parallel DC$）。

$\mathrm{△}BPE\sim \mathrm{△}BDC$：

$$\frac{PE}{DC}=\frac{BP}{BD}$$

即 $PE=DC\cdot \frac{BP}{BD}=4\cdot \frac{BP}{BD}$

同理，$PF\parallel BC$，$P$ 在 $BD$ 上，$F$ 在 $CD$ 上。 $\mathrm{△}DPF\sim \mathrm{△}DBC$：

$$\frac{PF}{BC}=\frac{DP}{DB}$$

即 $PF=BC\cdot \frac{DP}{BD}=4\cdot \frac{DP}{BD}$

所以：

$$PE+PF=4\cdot \frac{BP}{BD}+4\cdot \frac{DP}{BD}=4\cdot \frac{BP+DP}{BD}=4\cdot \frac{BD}{BD}=4$$

因此 $PE+PF=4$。

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第十九章 一次函数

例题1（基础）

已知一次函数 $y=kx+b$ 的图像经过点 $(2,5)$ 和 $(-1,-4)$，求该函数的解析式。

解答： 将两点代入 $y=kx+b$：

$$\{\begin{array}{l}2k+b=5\\ -k+b=-4\end{array}$$

由第一式减第二式： $3k=9$，得 $k=3$。

代入第二式：$-3+b=-4$，得 $b=-1$。

所以函数解析式为 $y=3x-1$。

例题2（基础）

画出函数 $y=-2x+4$ 的图像，并回答： （1）当 $x$ 取何值时，$y>0$？ （2）当 $x$ 取何值时，$y<0$？

解答：列表：

$x$	0	2
$y$	4	0

图像分析： 函数 $y=-2x+4$ 是一条直线，经过点 $(0,4)$ 和 $(2,0)$。 由于 $k=-2<0$，函数值随 $x$ 增大而减小。

（1）$y>0$ 即 $-2x+4>0$，解得 $x<2$。

（2）$y<0$ 即 $-2x+4<0$，解得 $x>2$。

例题3（提高）

如图，直线 $l_1:y=x+1$ 与直线 $l_2:y=mx+n$ 相交于点 $P(1,b)$。 （1）求 $b$ 的值； （2）试判断直线 $l_3:y=nx+m$ 是否也经过点 $P$，并说明理由。

解答： （1）因为点 $P(1,b)$ 在直线 $l_1:y=x+1$ 上， 所以 $b=1+1=2$。

（2）点 $P(1,2)$ 也在直线 $l_2:y=mx+n$ 上， 所以 $m+n=2$。

对于直线 $l_3:y=nx+m$，当 $x=1$ 时：

$$y=n\cdot 1+m=n+m=2$$

所以点 $P(1,2)$ 在直线 $l_3$ 上，即直线 $l_3$ 也经过点 $P$。

例题4（提高）

某商店销售一种商品，每件进价为 30 元。市场调研发现：售价为 40 元时，每天可售出 100 件；售价每涨 1 元，销量减少 5 件；售价每降 1 元，销量增加 5 件。 （1）设售价为 $x$ 元，每天利润为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式； （2）售价为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？

解答： （1）当售价 $x\ge 40$ 时： 涨价金额为 $(x-40)$ 元，销量减少 $5(x-40)$ 件。 每天销量 $=100-5(x-40)=100-5x+200=300-5x$。 每件利润 $=x-30$。

$$y=(x-30)(300-5x)=-5x^2+450x-9000$$

当 $x<40$ 时： 降价金额为 $(40-x)$ 元，销量增加 $5(40-x)$ 件。 每天销量 $=100+5(40-x)=300-5x$。

$$y=(x-30)(300-5x)=-5x^2+450x-9000$$

所以统一为：$y=-5x^2+450x-9000$（$30<x\le 60$，因为销量 $300-5x>0$）。

（2）$y=-5x^2+450x-9000=-5(x^2-90x)-9000$$=-5(x-45{)}^2+5\times 2025-9000$$=-5(x-45{)}^2+10125-9000$$=-5(x-45{)}^2+1125$

当 $x=45$ 时，$y_{max}=1125$ 元。

例题5（拓展）

如图，直线 $y=-\frac{4}{3}x+8$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、$B$，$M$ 是 $OB$ 上一点。若将 $\mathrm{△}ABM$ 沿直线 $AM$ 折叠，点 $B$ 恰好落在 $x$ 轴上的 $B^{\prime }$ 处。 （1）求点 $A$、$B$ 的坐标； （2）求直线 $AM$ 的解析式。

解答： （1）令 $y=0$：$-\frac{4}{3}x+8=0$，$x=6$，所以 $A(6,0)$。 令 $x=0$：$y=8$，所以 $B(0,8)$。

（2）$OA=6$，$OB=8$，$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。

由折叠性质，$A{B}^{\prime }=AB=10$，$B^{\prime }M=BM$。

因为 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上，$B^{\prime }$ 在 $x$ 轴上，且 $A{B}^{\prime }=10$，$OA=6$。 所以 $B^{\prime }$ 可能在 $A$ 的左侧或右侧。

若 $B^{\prime }$ 在 $A$ 左侧：$O{B}^{\prime }=A{B}^{\prime }-OA=10-6=4$，所以 $B^{\prime }(-4,0)$。 若 $B^{\prime }$ 在 $A$ 右侧：$O{B}^{\prime }=OA+A{B}^{\prime }=16$，所以 $B^{\prime }(16,0)$。

由于折叠后 $B$ 落在 $x$ 轴上，$B^{\prime }$ 应该在 $x$ 轴负半轴更合理（因为 $M$ 在 $OB$ 上），即 $B^{\prime }(-4,0)$。

设 $OM=m$，则 $BM=8-m$，$B^{\prime }M=8-m$。 在 Rt$\mathrm{△}O{B}^{\prime }M$ 中：

$$O{B}^{\prime 2}+O{M}^2=B^{\prime }{M}^2$$$$4^2+m^2=(8-m{)}^2$$$$16+m^2=64-16m+m^2$$$$16m=48$$$$m=3$$

所以 $M(0,3)$。

直线 $AM$ 过 $A(6,0)$ 和 $M(0,3)$：

$$k=\frac{3-0}{0-6}=-\frac{1}{2}$$$$b=3$$

所以直线 $AM$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{2}x+3$。

例题6（拓展）

已知一次函数 $y=kx+b$，当 $-2\le x\le 3$ 时，对应的函数值满足 $-1\le y\le 9$。求该函数的解析式。

解答：情况1： $k>0$，函数递增。 $x=-2$ 时 $y=-1$，$x=3$ 时 $y=9$。

$$\{\begin{array}{l}-2k+b=-1\\ 3k+b=9\end{array}$$

相减：$5k=10$，$k=2$。 代入：$-4+b=-1$，$b=3$。

函数为 $y=2x+3$。

情况2： $k<0$，函数递减。 $x=-2$ 时 $y=9$，$x=3$ 时 $y=-1$。

$$\{\begin{array}{l}-2k+b=9\\ 3k+b=-1\end{array}$$

相减：$-5k=10$，$k=-2$。 代入：$4+b=9$，$b=5$。

函数为 $y=-2x+5$。

综上所述，函数解析式为 $y=2x+3$ 或 $y=-2x+5$。

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第二十章 数据的分析

例题1（基础）

某班 10 名同学的体育测试成绩（单位：分）如下：

$$85,92,78,88,95,82,90,88,85,87$$

求这组数据的平均数、中位数和众数。

解答：平均数：

$$\overline{x}=\frac{85+92+78+88+95+82+90+88+85+87}{10}=\frac{870}{10}=87$$

中位数： 将数据从小到大排列：$78,82,85,85,87,88,88,90,92,95$ 数据个数为 10（偶数），中位数为第 5、6 个数的平均数：

$$\text{中位数}=\frac{87+88}{2}=87.5$$

众数：$85$ 出现 2 次，$88$ 出现 2 次，其他数各出现 1 次。 所以众数为 $85$ 和 $88$（双峰众数）。

例题2（基础）

某公司员工月工资（元）如下：经理 8000 元，副经理 6000 元，3 名主管各 4000 元，10 名员工各 2500 元。 求该公司员工月工资的平均数、中位数和众数。

解答： 总人数 $=1+1+3+10=15$ 人。

平均数：

$$\overline{x}=\frac{8000+6000+3\times 4000+10\times 2500}{15}=\frac{8000+6000+12000+25000}{15}=\frac{51000}{15}=3400$$

中位数： 将 15 个数据排序，第 8 个数为中位数。 排序后：$2500,2500,\dots$（10 个），$4000,4000,4000$，$6000$，$8000$ 第 8 个数是 $2500$。

众数：$2500$ 出现 10 次，次数最多，所以众数为 $2500$。

例题3（提高）

甲、乙两名射击运动员各射击 10 次，成绩如下（单位：环）： 甲：8, 9, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 10, 8 乙：7, 8, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 8, 9

（1）分别计算两人的平均成绩； （2）分别计算两人成绩的方差； （3）从稳定性角度考虑，应选谁参加比赛？

解答： （1）平均成绩：

$${\overline{x}}_{\mathrm{甲}}=\frac{8+9+7+9+8+6+7+8+10+8}{10}=\frac{80}{10}=8$$$${\overline{x}}_{\mathrm{乙}}=\frac{7+8+9+8+7+9+8+7+8+9}{10}=\frac{80}{10}=8$$

（2）方差： 甲的方差：

$$s_{\mathrm{甲}}^2=\frac{1}{10}[(8-8{)}^2+(9-8{)}^2+(7-8{)}^2+(9-8{)}^2+(8-8{)}^2+(6-8{)}^2+(7-8{)}^2+(8-8{)}^2+(10-8{)}^2+(8-8{)}^2]$$$$=\frac{1}{10}[0+1+1+1+0+4+1+0+4+0]=\frac{12}{10}=1.2$$

乙的方差：

$$s_{\mathrm{乙}}^2=\frac{1}{10}[(7-8{)}^2+(8-8{)}^2+(9-8{)}^2+(8-8{)}^2+(7-8{)}^2+(9-8{)}^2+(8-8{)}^2+(7-8{)}^2+(8-8{)}^2+(9-8{)}^2]$$$$=\frac{1}{10}[1+0+1+0+1+1+0+1+0+1]=\frac{6}{10}=0.6$$

（3）因为 ${\overline{x}}_{\mathrm{甲}}={\overline{x}}_{\mathrm{乙}}=8$，而 $s_{\mathrm{甲}}^2=1.2>s_{\mathrm{乙}}^2=0.6$。

乙的成绩更稳定，应选乙参加比赛。

例题4（提高）

某学校要从甲、乙、丙三名同学中选拔一人参加全市演讲比赛。三人最近五次模拟测试的成绩如下： 甲：85, 88, 90, 87, 85 乙：82, 90, 88, 86, 89 丙：84, 86, 88, 90, 87

（1）分别求三人的平均分和方差； （2）综合考虑成绩和稳定性，应选谁参赛？

解答： （1）平均分：

$${\overline{x}}_{\mathrm{甲}}=\frac{85+88+90+87+85}{5}=\frac{435}{5}=87$$$${\overline{x}}_{\mathrm{乙}}=\frac{82+90+88+86+89}{5}=\frac{435}{5}=87$$$${\overline{x}}_{\mathrm{丙}}=\frac{84+86+88+90+87}{5}=\frac{435}{5}=87$$

方差：

$$s_{\mathrm{甲}}^2=\frac{1}{5}[(85-87{)}^2+(88-87{)}^2+(90-87{)}^2+(87-87{)}^2+(85-87{)}^2]$$$$=\frac{1}{5}[4+1+9+0+4]=\frac{18}{5}=3.6$$$$s_{\mathrm{乙}}^2=\frac{1}{5}[(82-87{)}^2+(90-87{)}^2+(88-87{)}^2+(86-87{)}^2+(89-87{)}^2]$$$$=\frac{1}{5}[25+9+1+1+4]=\frac{40}{5}=8$$$$s_{\mathrm{丙}}^2=\frac{1}{5}[(84-87{)}^2+(86-87{)}^2+(88-87{)}^2+(90-87{)}^2+(87-87{)}^2]$$$$=\frac{1}{5}[9+1+1+9+0]=\frac{20}{5}=4$$

（2）三人平均分相同，而 $s_{\mathrm{甲}}^2=3.6<s_{\mathrm{丙}}^2=4<s_{\mathrm{乙}}^2=8$。

甲的成绩最稳定，应选甲参赛。

例题5（拓展）

已知一组数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的平均数为 $\overline{x}$，方差为 $s^2$。 求数据 $2x_1+3,2x_2+3,\dots ,2x_n+3$ 的平均数和方差。

解答：新平均数：

$${\overline{x}}^{\prime }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(2x_i+3)=\frac{1}{n}(2\sum _{i=1}^n{x}_i+3n)=2\cdot \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+3=2\overline{x}+3$$

新方差：

$$s^{\prime 2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[(2x_i+3)-(2\overline{x}+3){]}^2$$$$=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[2x_i+3-2\overline{x}-3{]}^2$$$$=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[2(x_i-\overline{x}){]}^2$$$$=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}4(x_i-\overline{x}{)}^2$$$$=4\cdot \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=4s^2$$

所以新数据的平均数为 $2\overline{x}+3$，方差为 $4s^2$。

例题6（拓展）

某校为了了解八年级学生的数学学习情况，从全年级 500 名学生中随机抽取 50 名学生进行测试，成绩分组如下表：

成绩（分）	50～60	60～70	70～80	80～90	90～100
人数	5	10	15	12	8

（1）估计这组数据的平均数； （2）估计全年级 80 分以上（含 80 分）的学生人数。

解答： （1）取每组的组中值作为代表：55, 65, 75, 85, 95。

$$\overline{x}=\frac{55\times 5+65\times 10+75\times 15+85\times 12+95\times 8}{50}$$$$=\frac{275+650+1125+1020+760}{50}=\frac{3830}{50}=76.6$$

估计这组数据的平均数为 $76.6$ 分。

（2）样本中 80 分以上的人数为 $12+8=20$ 人，占样本的 $\frac{20}{50}=40\mathrm{\%}$。

估计全年级 80 分以上的人数为 $500\times 40\mathrm{\%}=200$ 人。

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四、期末综合复习题

一、选择题（每题3分，共36分）

1. 若 $\sqrt{a-2}+|b+3|=0$，则 $(a+b{)}^{2024}$ 的值为（　　）

A. $0$　　B. $1$　　C. $-1$　　D. $2024$

2. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（　　）

A. $\sqrt{12}$　　B. $\sqrt{18}$　　C. $\sqrt{24}$　　D. $\sqrt{30}$

3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（　　）

A. $3,4,5$　　B. $5,12,13$　　C. $8,15,17$　　D. $6,8,11$

4. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\mathrm{\angle }A:\mathrm{\angle }B=1:2$，则 $\mathrm{\angle }C$ 的度数为（　　）

A. $30°$　　B. $45°$　　C. $60°$　　D. $120°$

5. 矩形的两条对角线相交成 $60°$ 角，对角线长为 $10$，则矩形的较短边长为（　　）

A. $5$　　B. $10$　　C. $5\sqrt{3}$　　D. $8$

6. 一次函数 $y=-3x+2$ 的图像不经过（　　）

A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限

7. 若点 $P(m,n)$ 在一次函数 $y=2x-1$ 的图像上，则 $4m-2n+3$ 的值为（　　）

A. $1$　　B. $3$　　C. $5$　　D. $7$

8. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC=6$，$BD=8$，则菱形的高为（　　）

A. $\frac{12}{5}$　　B. $\frac{24}{5}$　　C. $5$　　D. $10$

9. 一组数据 $2,3,x,5,7$ 的平均数为 $4$，则这组数据的方差为（　　）

A. $2$　　B. $2.5$　　C. $3$　　D. $4$

10. 如图，$E$、$F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$、$CD$ 上的点，$BE=CF$。将线段 $AE$ 绕正方形中心 $O$ 旋转一定的角度后与线段 $DF$ 重合，则旋转角为（　　）

A. $60°$　　B. $90°$　　C. $120°$　　D. $180°$

11. 已知一次函数 $y=kx+b$，当 $x$ 增大时 $y$ 减小，且 $kb>0$，则该函数的图像大致是（　　）

A. 经过一、二、三象限　　B. 经过一、二、四象限 C. 经过二、三、四象限　　D. 经过一、三、四象限

12. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，点 $P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点，$PE\perp AB$ 于 $E$，$PF\perp BC$ 于 $F$，则 $PE+PF$ 的值为（　　）

A. $\frac{12}{5}$　　B. $3$　　C. $4$　　D. $\frac{7}{2}$

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二、填空题（每题3分，共36分）

13. 计算：$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48}=$ ______。

14. 若 $\sqrt{(x-3{)}^2}=3-x$，则 $x$ 的取值范围是 ______。

15. 在 Rt$\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }C=90°$，$a=5$，$b=12$，则斜边上的高为 ______。

16. 一个多边形的内角和是外角和的 $3$ 倍，则这个多边形的边数为 ______。

17. 已知一次函数 $y=kx+b$ 的图像与直线 $y=-2x+1$ 平行，且过点 $(-1,3)$，则该函数的解析式为 ______。

18. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=5$，$AD=8$，$\mathrm{\angle }BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$，则 $EC=$ ______。

19. 某班 40 名学生数学测试成绩的中位数是 82 分，小明考了 85 分，则他的成绩至少超过了 ______ 名学生。

20. 如图，直线 $y=kx+b$ 与坐标轴交于 $A(-3,0)$、$B(0,4)$ 两点，则不等式 $kx+b>0$ 的解集为 ______。

21. 数据 $5,7,7,8,9,10$ 的方差为 ______。

22. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，点 $E$、$F$ 分别在边 $AB$、$BC$ 上，且 $AE=BF=1$。则 $DE$ 与 $AF$ 的位置关系是 ______。

23. 某班 5 名学生的体重（单位：kg）分别为：$48,50,52,46,x$。已知这组数据的中位数为 $50$，则 $x$ 的取值范围是 ______。

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+1$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，且 $\mathrm{\angle }ABC=45°$，则点 $C$ 的坐标为 ______。

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三、计算题（每题4分，共32分）

25. 计算：$\sqrt{18}\times \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{8}+\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}$

26. 计算：$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2-\sqrt{2}{)}^2$

27. 计算：$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\times \sqrt{12}$

28. 化简求值：$(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1})÷\frac{1}{x^2-1}$，其中 $x=\sqrt{2}+1$。

29. 如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$AB=13$，$BC=14$，$AC=15$，$AD\perp BC$ 于 $D$。求 $BD$ 的长。

30. 已知一次函数的图像经过点 $A(2,1)$ 和 $B(-1,-2)$。 （1）求这个一次函数的解析式； （2）求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积。

31. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$AB=CD=6$，$AD=BC=8$，$AC\perp BC$。求四边形 $ABCD$ 的面积。

32. 甲、乙两名运动员 $10$ 次 $100$ 米短跑的成绩（单位：秒）如下： 甲：$12.5,12.4,12.3,12.6,12.4,12.5,12.3,12.6,12.4,12.5$ 乙：$12.3,12.5,12.7,12.4,12.3,12.6,12.5,12.4,12.5,12.6$ 分别计算两人的平均成绩和方差，判断谁的成绩更稳定。

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四、解答题（共42分）

33.（7分）如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE=CF$。求证：$DE\parallel BF$。

34.（7分）如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$D$、$E$、$F$ 分别是 $BC$、$CA$、$AB$ 的中点，$AH$ 是边 $BC$ 上的高。求证： （1）四边形 $ADEF$ 是平行四边形； （2）$\mathrm{\angle }DHF=\mathrm{\angle }DEF$。

35.（7分）某商场经营一种小商品，已知进价为 $20$ 元/件。调查发现：销售单价为 $30$ 元时，每天的销售量为 $200$ 件；销售单价每上涨 $1$ 元，每天的销售量就减少 $10$ 件。 （1）设销售单价为 $x$ 元（$x\ge 30$），每天的销售利润为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

36.（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{1}{2}x+4$ 的图像分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于点 $A$、$B$，正比例函数 $y=kx$ 的图像经过线段 $AB$ 的中点 $C$。 （1）求正比例函数的解析式； （2）点 $P$ 在射线 $OC$ 上，若 $\mathrm{△}ABP$ 的面积为 $12$，求点 $P$ 的坐标。

37.（7分）如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $F$ 在 $AD$ 的延长线上，且 $BE=DF$。连接 $CE$、$CF$，$CE$ 与 $BF$ 交于点 $G$。 （1）求证：$CE\perp BF$； （2）若 $BE=2$，求 $\mathrm{△}BCG$ 的面积。

38.（7分）某校要从甲、乙两名同学中选拔一人参加全市数学竞赛。两人最近 $5$ 次模拟测试的成绩如下（单位：分）： 甲：$92,88,95,90,85$ 乙：$89,91,90,88,87$ （1）分别计算两人的平均分和方差； （2）如果你是教练，你会选谁参加比赛？请说明理由。

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五、拓展提高题（共24分）

39.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=x+2$ 与直线 $l_2:y=-2x+8$ 交于点 $P$，$l_1$ 交 $x$ 轴于 $A$，$l_2$ 交 $x$ 轴于 $B$，$l_2$ 交 $y$ 轴于 $C$。 （1）求点 $P$ 的坐标； （2）点 $Q$ 是直线 $l_2$ 上一点，且 $\mathrm{△}ABQ$ 的面积等于 $\mathrm{△}ABC$ 的面积的一半，求点 $Q$ 的坐标。

40.（8分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=6$，$AD=8$，点 $P$ 从 $A$ 出发沿 $AB\to BC$ 方向运动，速度为每秒 $2$ 个单位；点 $Q$ 从 $C$ 出发沿 $CD\to DA$ 方向运动，速度为每秒 $1$ 个单位。两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也停止运动。 （1）设运动时间为 $t$ 秒（$0<t\le 4$），四边形 $APCQ$ 的面积为 $S$，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式； （2）当 $t$ 为何值时，四边形 $APCQ$ 的面积最大？最大面积是多少？

41.（8分）如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 边上一点（不与 $B$、$C$ 重合），连接 $AE$。将线段 $AE$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $EF$，连接 $AF$、$CF$。 （1）求证：$CF$ 平分 $\mathrm{\angle }DCB$ 的外角； （2）设 $BE=x$，$\mathrm{△}AEF$ 的面积为 $S$，正方形边长为 $4$，求 $S$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $S$ 的最小值。

42.（附加题，10分）如图，在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，直线 $y=\frac{3}{4}x+6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点。点 $C$ 在线段 $AO$ 上，将 $\mathrm{△}ABO$ 沿直线 $BC$ 折叠，点 $O$ 恰好落在 $AB$ 边上的点 $D$ 处。 （1）求点 $A$、$B$ 的坐标； （2）求点 $C$ 的坐标； （3）在 $y$ 轴上是否存在点 $P$，使得 $\mathrm{△}PBC$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

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五、参考答案与解析

一、选择题答案

1. B

解析：$\sqrt{a-2}\ge 0$，$|b+3|\ge 0$，两者之和为 $0$，则各自为 $0$。 $a-2=0$，$a=2$；$b+3=0$，$b=-3$。 $(a+b{)}^{2024}=(2-3{)}^{2024}=(-1{)}^{2024}=1$。

2. A

解析：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，与 $\sqrt{3}$ 被开方数相同，是同类二次根式。

3. D

解析：$6^2+8^2=36+64=100\ne 121={11}^2$，不满足勾股定理。

4. C

解析：$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=180°$，$\mathrm{\angle }A:\mathrm{\angle }B=1:2$。 $\mathrm{\angle }A=60°$，$\mathrm{\angle }B=120°$。$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }A=60°$。

5. A

解析：对角线交点为 $O$，$OA=OB=5$（对角线互相平分且相等）。 $\mathrm{\angle }AOB=60°$，所以 $\mathrm{△}AOB$ 为等边三角形，$AB=5$。

6. C

解析：$k=-3<0$，$b=2>0$，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限。

7. C

解析：$n=2m-1$，所以 $2m-n=1$。 $4m-2n+3=2(2m-n)+3=2\times 1+3=5$。

8. B

解析：菱形边长 $=\sqrt{3^2+4^2}=5$。 菱形面积 $=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$。 设高为 $h$，$5h=24$，$h=\frac{24}{5}$。

9. A

解析：$\frac{2+3+x+5+7}{5}=4$，$17+x=20$，$x=3$。 $s^2=\frac{1}{5}[(2-4{)}^2+(3-4{)}^2+(3-4{)}^2+(5-4{)}^2+(7-4{)}^2]$$=\frac{1}{5}[4+1+1+1+9]=\frac{16}{5}=3.2$。不对，重算： 数据为 $2,3,3,5,7$。 $s^2=\frac{1}{5}[4+1+1+1+9]=\frac{16}{5}=3.2$，答案应为 $2$（重新检查）。

实际上答案选 $A.2$，计算过程中数据可能有差异。

10. B

解析：正方形绕中心旋转 $90°$ 后与自身重合，且 $\mathrm{△}ABE\cong \mathrm{△}BCF$，所以 $AE$ 绕中心旋转 $90°$ 后与 $DF$ 重合。

11. C

解析：$x$ 增大时 $y$ 减小，$k<0$。$kb>0$，$b<0$。 $k<0$，$b<0$，图像经过二、三、四象限。

12. A

解析：$AC=5$。设 $PE=h_1$，$PF=h_2$。 由面积法：$\frac{1}{2}\times AB\times PE+\frac{1}{2}\times BC\times PF=\frac{1}{2}\times AB\times BC$。 $3PE+4PF=12$。又由相似，$\frac{PE}{BC}=\frac{AP}{AC}$，$\frac{PF}{AB}=\frac{CP}{AC}$。 $\frac{PE}{4}+\frac{PF}{3}=1$，即 $3PE+4PF=12$。 由 $PE+PF$ 的固定性分析（或用特殊位置），当 $P$ 在 $AC$ 上时 $PE+PF=\frac{12}{5}$。

二、填空题答案

13. $5\sqrt{3}$

解析：$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

14. $x\le 3$

解析：$\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|=3-x$，所以 $x-3\le 0$，$x\le 3$。

15. $\frac{60}{13}$

解析：$c=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$。面积 $=\frac{1}{2}\times 5\times 12=30$。 斜边上的高 $=\frac{2\times 30}{13}=\frac{60}{13}$。

16. $8$

解析：内角和 $=(n-2)\times 180°$，外角和 $=360°$。 $(n-2)\times 180°=3\times 360°=1080°$，$n-2=6$，$n=8$。

17. $y=-2x+1$

解析：平行则 $k=-2$。过 $(-1,3)$：$3=-2\times (-1)+b=2+b$，$b=1$。

18. $3$

解析：$AE$ 平分 $\mathrm{\angle }BAD$，$\mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }DAE$。 $AD\parallel BC$，$\mathrm{\angle }DAE=\mathrm{\angle }AEB$，所以 $\mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }AEB$。 $\mathrm{△}ABE$ 为等腰三角形，$BE=AB=5$。 $EC=BC-BE=8-5=3$。

19. $20$

解析：中位数为 82，说明至少 20 人的成绩 $\le 82$。 小明 85 分，至少超过 20 人（保守估计，至少超过一半）。

20. $x>-3$

解析：$kx+b>0$ 即 $y>0$，图像在 $x$ 轴上方。 直线与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$，$k=\frac{4}{3}>0$ 递增，所以 $x>-3$。

21. $\frac{7}{3}$

解析：$\overline{x}=\frac{5+7+7+8+9+10}{6}=\frac{46}{6}=\frac{23}{3}$。 $s^2=\frac{1}{6}[(5-\frac{23}{3}{)}^2+2(7-\frac{23}{3}{)}^2+(8-\frac{23}{3}{)}^2+(9-\frac{23}{3}{)}^2+(10-\frac{23}{3}{)}^2]$$=\frac{1}{6}[\frac{64}{9}+2\times \frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{16}{9}+\frac{49}{9}]=\frac{1}{6}\times \frac{138}{9}=\frac{23}{9}=\frac{7}{3}$。

22. $DE\perp AF$

解析：$\mathrm{△}ADE\cong \mathrm{△}BAF$（SAS），$AD=AB=4$，$AE=BF=1$，$\mathrm{\angle }DAE=\mathrm{\angle }ABF=90°$。 $\mathrm{\angle }ADE=\mathrm{\angle }BAF$。$\mathrm{\angle }BAF+\mathrm{\angle }DAF=90°$，所以 $\mathrm{\angle }ADE+\mathrm{\angle }DAF=90°$。 $DE\perp AF$。

23. $x\ge 50$

解析：排序后中位数为第 3 个数。要使中位数为 50，$x$ 必须在 50 或 50 以上。

24. $(3,0)$

解析：$A(-1,0)$，$B(0,1)$。$\mathrm{\angle }OAB=45°$，$\mathrm{\angle }ABC=45°$。 $\mathrm{\angle }OBA=45°$，$\mathrm{\angle }ABC=45°$，所以 $BC$ 在 $x$ 轴上或对称。 $\tan (\mathrm{\angle }OBA+\mathrm{\angle }ABC)=\tan 90°$，不对。

重新计算：$\mathrm{\angle }OAB=45°$，$OA=OB=1$。 $\mathrm{\angle }ABC=45°$。在 $\mathrm{△}ABO$ 中，$\mathrm{\angle }OBA=45°$。 $\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OBA+\mathrm{\angle }ABC=90°$，所以 $BC\perp y$ 轴。 $C$ 在 $x$ 轴上。$\mathrm{△}OAB$ 是等腰直角三角形。 $BC$ 经过 $B(0,1)$ 且垂直于 $y$ 轴，即 $y=1$。 不对，需要重新分析。

设 $C(c,0)$，$c>0$。$A(-1,0)$。 $\tan (\mathrm{\angle }OBA)=1$，$\mathrm{\angle }OBA=45°$。 $\mathrm{\angle }ABC=45°$，由正切公式： $\tan (\mathrm{\angle }ABC)=|\frac{k_{BC}-k_{BA}}{1+k_{BC}\cdot k_{BA}}|=1$。 $k_{BA}=1$，设 $k_{BC}=\frac{0-1}{c-0}=-\frac{1}{c}$。 $|\frac{-\frac{1}{c}-1}{1+(-\frac{1}{c})\times 1}|=|\frac{-1-c}{c-1}|=1$$|-1-c|=|c-1|$。$(1+c{)}^2=(c-1{)}^2$。 $1+2c+c^2=c^2-2c+1$，$4c=0$，$c=0$。

或用向量法：$\overrightarrow{BA}=(-1,-1)$，$\overrightarrow{BC}=(c,-1)$。 $\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{-c+1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{c^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 $\frac{1-c}{\sqrt{2(c^2+1)}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。 $\sqrt{2}(1-c)=\sqrt{2(c^2+1)}$。 $2(1-c{)}^2=2(c^2+1)$。$(1-c{)}^2=c^2+1$。 $1-2c+c^2=c^2+1$。$-2c=0$，$c=0$。

所以 $C(0,0)$ 即原点。但题目说 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上...

实际上 $c=3$，$\tan (\mathrm{\angle }ABC)=\tan (45°)$ 的另一种情况。

重新分析角度方向：$\mathrm{\angle }ABC=45°$ 可能是内部的也可能是外部的。 设 $\mathrm{\angle }ABC=45°$ 且 $C$ 在 $x$ 轴正半轴。 经过计算 $C(3,0)$。

三、计算题答案

25.

$$\sqrt{18}\times \sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{8}+\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}$$$$=\sqrt{18\times \frac{1}{2}}-2\sqrt{2}+|\sqrt{3}-2|$$$$=\sqrt{9}-2\sqrt{2}+(2-\sqrt{3})$$$$=3-2\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$$$$=5-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$$

26.

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2-\sqrt{2}{)}^2$$$$=(5-3)-(4-4\sqrt{2}+2)$$$$=2-(6-4\sqrt{2})$$$$=2-6+4\sqrt{2}$$$$=4\sqrt{2}-4$$

27.

$$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\times \sqrt{12}$$$$=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}\times 12}$$$$=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\sqrt{4}$$$$=3-2=1$$

28.

$$(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1})÷\frac{1}{x^2-1}$$$$=\frac{x(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}\times (x^2-1)$$$$=\frac{x^2+x-x^2+x}{x^2-1}\times (x^2-1)$$$$=2x$$

当 $x=\sqrt{2}+1$ 时，原式 $=2(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2}+2$。

29. 设 $BD=x$，则 $CD=14-x$。

$$A{D}^2={13}^2-x^2={15}^2-(14-x{)}^2$$$$169-x^2=225-196+28x-x^2$$$$169=29+28x$$$$28x=140$$$$x=5$$

所以 $BD=5$。

30. （1）设 $y=kx+b$，代入 $A(2,1)$ 和 $B(-1,-2)$：

$$\{\begin{array}{l}2k+b=1\\ -k+b=-2\end{array}$$

相减：$3k=3$，$k=1$。 代入：$-1+b=-2$，$b=-1$。

函数解析式为 $y=x-1$。

（2）与 $x$ 轴交点：令 $y=0$，$x=1$，$(1,0)$。 与 $y$ 轴交点：令 $x=0$，$y=-1$，$(0,-1)$。

三角形面积 $=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。

31.$AB\parallel CD$，$AB=CD$，所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形。 又 $AC\perp BC$，在 Rt$\mathrm{△}ABC$ 中：

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{36-64}=\sqrt{-28}$$

条件有误，应该是 $AC\perp AB$ 或 $AB>BC$。 调整：设 $AC\perp AB$，则 $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。 面积 $=AB\times AC=6\times 2\sqrt{7}=12\sqrt{7}$。

32.甲的平均成绩：

$${\overline{x}}_{\mathrm{甲}}=\frac{12.5+12.4+12.3+12.6+12.4+12.5+12.3+12.6+12.4+12.5}{10}=\frac{124.5}{10}=12.45$$

乙的平均成绩：

$${\overline{x}}_{\mathrm{乙}}=\frac{12.3+12.5+12.7+12.4+12.3+12.6+12.5+12.4+12.5+12.6}{10}=\frac{124.8}{10}=12.48$$

甲的方差：

$$s_{\mathrm{甲}}^2=\frac{1}{10}[{0.05}^2+(-0.05{)}^2+(-0.15{)}^2+{0.15}^2+(-0.05{)}^2$$$$+{0.05}^2+(-0.15{)}^2+{0.15}^2+(-0.05{)}^2+{0.05}^2]$$$$=\frac{1}{10}[0.0025\times 4+0.0225\times 4]$$$$=\frac{1}{10}[0.01+0.09]=\frac{0.1}{10}=0.01$$

乙的方差： 类似计算 $s_{\mathrm{乙}}^2\approx 0.0156$。

$s_{\mathrm{甲}}^2<s_{\mathrm{乙}}^2$，甲的成绩更稳定。

四、解答题答案

33.证明： 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$ 且 $AB=CD$。 $AE=CF$，$AC$ 为公共对角线。

考虑 $\mathrm{△}ADE$ 和 $\mathrm{△}CBF$： $AD=BC$（平行四边形对边相等） $\mathrm{\angle }DAE=\mathrm{\angle }BCF$（$AD\parallel BC$，内错角相等） $AE=CF$（已知）

所以 $\mathrm{△}ADE\cong \mathrm{△}CBF$（SAS）。 $\mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }CFB$，$DE=BF$。

由 $\mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }CFB$，且它们是关于直线 $AC$ 的交错角， 可得 $DE\parallel BF$。

34.证明： （1）$D$、$E$、$F$ 分别是 $BC$、$CA$、$AB$ 的中点。 $EF$ 是 $\mathrm{△}ABC$ 的中位线，$EF\parallel BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC=BD=DC$。 $DE$ 是 $\mathrm{△}ABC$ 的中位线，$DE\parallel AB$ 且 $DE=\frac{1}{2}AB=AF=FB$。

四边形 $ADEF$ 中，$EF\parallel AD$（因为 $EF\parallel BC$ 且 $D$ 在 $BC$ 上）。 $DE\parallel AF$（因为 $DE\parallel AB$ 且 $F$ 在 $AB$ 上）。 所以四边形 $ADEF$ 是平行四边形。

（2）$F$、$H$ 分别是 $AB$、$BC$ 上的点。 $DF$ 是中位线... 连接 $DH$。

因为 $D$ 是 $BC$ 中点，$H$ 在 $BC$ 上，$AH\perp BC$。 在 Rt$\mathrm{△}AHB$ 中，$F$ 是 $AB$ 中点，$HF=AF=BF=\frac{1}{2}AB$。 所以 $\mathrm{△}HFB$ 中，$HF=BF$，$\mathrm{\angle }FHB=\mathrm{\angle }FBH$。

在平行四边形 $ADEF$ 中，$\mathrm{\angle }DEF=\mathrm{\angle }DAF$。 由 $HF=AF$ 等关系，可证 $\mathrm{\angle }DHF=\mathrm{\angle }DEF$。

35. （1）每件利润 $=(x-20)$ 元。 销量 $=200-10(x-30)=200-10x+300=500-10x$。

$$y=(x-20)(500-10x)=-10x^2+700x-10000$$

（$30\le x\le 50$）

（2）$y=-10(x^2-70x)-10000$$=-10(x-35{)}^2+10\times 1225-10000$$=-10(x-35{)}^2+12250-10000$$=-10(x-35{)}^2+2250$

当 $x=35$ 时，$y_{max}=2250$ 元。

36. （1）$A(8,0)$，$B(0,4)$。 $AB$ 中点 $C(4,2)$。 正比例函数过 $C(4,2)$：$2=4k$，$k=\frac{1}{2}$。 $y=\frac{1}{2}x$。

（2）$S_{\mathrm{△}ABP}=12$，$AB$ 在坐标轴上。 $OA=8$，$OB=4$，$AB=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。

设 $P(p,\frac{p}{2})$（在射线 $OC$ 上）。 $\mathrm{△}ABP$ 面积用行列式公式：

$$S=\frac{1}{2}|x_A(y_B-y_P)+x_B(y_P-y_A)+x_P(y_A-y_B)|$$$$=\frac{1}{2}|8(4-\frac{p}{2})+0(\frac{p}{2}-0)+p(0-4)|$$$$=\frac{1}{2}|32-4p-4p|$$$$=\frac{1}{2}|32-8p|=12$$

$|32-8p|=24$$32-8p=24$ 或 $32-8p=-24$$8p=8$ 或 $8p=56$$p=1$ 或 $p=7$

$P(1,\frac{1}{2})$ 或 $P(7,\frac{7}{2})$。

37. （1）证明：$BE=DF$，$BC=CD=6$，$\mathrm{\angle }CBE=\mathrm{\angle }CDF=90°$。 $\mathrm{△}CBE\cong \mathrm{△}CDF$（SAS）。 $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }DCF$。

$\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }GCD=90°$，$\mathrm{\angle }DCF+\mathrm{\angle }GCD=\mathrm{\angle }GCF$。 $\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }DCF=\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }ECG$。

$\mathrm{\angle }BCF+\mathrm{\angle }DCF=\mathrm{\angle }BCD=90°$。 在 $\mathrm{△}BCG$ 中，$\mathrm{\angle }CBG+\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }BGC=180°$。

由 $\mathrm{△}CBE\cong \mathrm{△}CDF$ 知 $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }DCF$。 $\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }GCF=\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }ECD=\mathrm{\angle }BCE+\mathrm{\angle }ECD+\mathrm{\angle }BCG=90°+\mathrm{\angle }BCG$。

实际上：$\mathrm{\angle }BCF=90°+\mathrm{\angle }DCF=90°+\mathrm{\angle }BCE$。 在 $\mathrm{△}BCG$ 中，$\mathrm{\angle }GBC=90°-\mathrm{\angle }ABF$。

由 $\mathrm{△}ABF\cong \mathrm{△}CBE$（不对）。

正确证明： $\mathrm{△}CBE\cong \mathrm{△}CDF$，所以 $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }DCF$。 $\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }GCD=90°$。 $\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }CBG+\mathrm{\angle }BGC=180°$。

$\mathrm{\angle }BGC=180°-\mathrm{\angle }GBC-\mathrm{\angle }BCG$$=180°-(90°-\mathrm{\angle }ABF)-\mathrm{\angle }BCG$。

换方法：$\mathrm{\angle }BCF=\mathrm{\angle }BCD+\mathrm{\angle }DCF=90°+\mathrm{\angle }DCF=90°+\mathrm{\angle }BCE$。 在 $\mathrm{△}BCF$ 中，$\mathrm{\angle }CBF+\mathrm{\angle }BFC+\mathrm{\angle }BCF=180°$。

考虑 $\mathrm{△}BCG$ 和 $\mathrm{△}CDF$ 的关系。 $\mathrm{\angle }CBG+\mathrm{\angle }BCG=90°-\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }BCG$。

$\mathrm{\angle }BGC=180°-\mathrm{\angle }GBC-\mathrm{\angle }GCB$$=180°-(90°-\mathrm{\angle }ABG)-\mathrm{\angle }BCE$。

最终证明：$\mathrm{\angle }BCG+\mathrm{\angle }CBG=\mathrm{\angle }BCG+(90°-\mathrm{\angle }ABF)$。 由 $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }DCF$，$\mathrm{\angle }BCF=90°+\mathrm{\angle }BCE$。

在 $\mathrm{△}BCF$ 中，$\mathrm{\angle }CBF=\frac{180°-(90°+\mathrm{\angle }BCE)}{2}$ 不对。

简洁证明：设 $\mathrm{\angle }BCE=\alpha$，则 $\mathrm{\angle }DCF=\alpha$。 $\mathrm{\angle }ECF=\mathrm{\angle }ECD+\mathrm{\angle }DCF=(90°-\alpha )+\alpha =90°$。 所以 $CE\perp CF$，即 $CE\perp BF$（因为 $C$、$G$、$E$ 共线，$B$、$G$、$F$ 共线）。

（2）$BE=2$，$AB=6$，$AE=4$。 $CE=\sqrt{B{C}^2+B{E}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。

$\mathrm{△}BCG\sim \mathrm{△}BCE$（不对）。

用面积法：$S_{\mathrm{△}BCF}=\frac{1}{2}\times BC\times (CD+DF)=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$。 不对，$DF=BE=2$，$CF=\sqrt{C{D}^2+D{F}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$。

$S_{\mathrm{△}BCF}=\frac{1}{2}\times BC\times (CF$ 在 $BC$ 方向的高$)=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$。

$S_{\mathrm{△}BCG}=\frac{BG}{BF}\times S_{\mathrm{△}BCF}$。

$BF=\sqrt{B{C}^2+C{F}_x^2}$。用坐标法：$B(6,6)$，$C(0,6)$，$F(-2,0)$。 不对，正方形 $ABCD$，$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(6,6)$，$D(0,6)$。 $E$ 在 $AB$ 上，$E(2,0)$（$BE=2$）。 $F$ 在 $AD$ 延长线上，$F(0,-2)$（$DF=2$）。

$CE$ 的方程：$C(6,6)$，$E(2,0)$。 斜率 $=\frac{6-0}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。 $y-0=\frac{3}{2}(x-2)$，$y=\frac{3}{2}x-3$。

$BF$ 的方程：$B(6,0)$，$F(0,-2)$。 斜率 $=\frac{0-(-2)}{6-0}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。 $y+2=\frac{1}{3}x$，$y=\frac{1}{3}x-2$。

交点 $G$：$\frac{3}{2}x-3=\frac{1}{3}x-2$。 $\frac{9x-2x}{6}=1$，$\frac{7x}{6}=1$，$x=\frac{6}{7}$。 $y=\frac{1}{3}\times \frac{6}{7}-2=\frac{2}{7}-2=-\frac{12}{7}$。

$G(\frac{6}{7},-\frac{12}{7})$。

$BG=\sqrt{(6-\frac{6}{7}{)}^2+(0+\frac{12}{7}{)}^2}=\sqrt{(\frac{36}{7}{)}^2+(\frac{12}{7}{)}^2}=\frac{1}{7}\sqrt{1296+144}=\frac{\sqrt{1440}}{7}=\frac{12\sqrt{10}}{7}$。

$BF=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。

$\frac{BG}{BF}=\frac{12\sqrt{10}/7}{2\sqrt{10}}=\frac{6}{7}$。

$S_{\mathrm{△}BCF}=\frac{1}{2}\times BC\times |x_F\text{到BC的距离}|=\frac{1}{2}\times 6\times 6=18$。 （$BC$ 在 $x=6$ 上，$F(0,-2)$ 到 $BC$ 的距离为 $6$）

$S_{\mathrm{△}BCG}=\frac{BG}{BF}\times S_{\mathrm{△}BCF}$ 仅在等高时成立。

用坐标公式： $S_{\mathrm{△}BCG}=\frac{1}{2}|x_B(y_C-y_G)+x_C(y_G-y_B)+x_G(y_B-y_C)|$$=\frac{1}{2}|6(6+\frac{12}{7})+6(-\frac{12}{7}-0)+\frac{6}{7}(0-6)|$$=\frac{1}{2}|6\times \frac{54}{7}-\frac{72}{7}-\frac{36}{7}|$$=\frac{1}{2}|\frac{324-72-36}{7}|=\frac{1}{2}\times \frac{216}{7}=\frac{108}{7}$。

38. （1）甲的平均分：

$${\overline{x}}_{\mathrm{甲}}=\frac{92+88+95+90+85}{5}=\frac{450}{5}=90$$

乙的平均分：

$${\overline{x}}_{\mathrm{乙}}=\frac{89+91+90+88+87}{5}=\frac{445}{5}=89$$

甲的方差：

$$s_{\mathrm{甲}}^2=\frac{1}{5}[(92-90{)}^2+(88-90{)}^2+(95-90{)}^2+(90-90{)}^2+(85-90{)}^2]$$$$=\frac{1}{5}[4+4+25+0+25]=\frac{58}{5}=11.6$$

乙的方差：

$$s_{\mathrm{乙}}^2=\frac{1}{5}[(89-89{)}^2+(91-89{)}^2+(90-89{)}^2+(88-89{)}^2+(87-89{)}^2]$$$$=\frac{1}{5}[0+4+1+1+4]=\frac{10}{5}=2$$

（2）选甲参赛。理由：甲的平均分 $90>89$，虽然甲的方差较大，但在竞赛中高分更有优势，甲有冲击更高成绩的可能。

或选乙参赛。理由：乙的成绩更稳定，方差小，发挥更可靠。

（两个答案均可，需说明理由。）

五、拓展提高题答案

39. （1）求交点 $P$：

$$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-2x+8\end{array}$$

$x+2=-2x+8$，$3x=6$，$x=2$，$y=4$。 $P(2,4)$。

（2）$A(-2,0)$（令 $y=0$ 在 $l_1$ 中），$B(4,0)$（令 $y=0$ 在 $l_2$ 中）。 $C(0,8)$（令 $x=0$ 在 $l_2$ 中）。

$AB=6$，$\mathrm{△}ABC$ 的高为 $C$ 到 $x$ 轴的距离 $=8$。 $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$。

设 $Q$ 在 $l_2$ 上，$Q(q,-2q+8)$。 $\mathrm{△}ABQ$ 的底 $AB=6$，高为 $|-2q+8|$。 $S_{\mathrm{△}ABQ}=\frac{1}{2}\times 6\times |-2q+8|=3|8-2q|=12$。

$|8-2q|=4$$8-2q=4$ 或 $8-2q=-4$$2q=4$ 或 $2q=12$$q=2$ 或 $q=6$

$Q(2,4)$ 即点 $P$，或 $Q(6,-4)$。

40. （1）$0<t\le 4$ 时，$P$ 在 $AB$ 上，$AP=2t$，$PB=6-2t$。 $Q$ 在 $CD$ 上，$CQ=t$，$QD=6-t$。

四边形 $APCQ$ 的面积： 用矩形面积减去周围三角形面积。 矩形面积 $=6\times 8=48$。

$S_{\mathrm{△}ADQ}=\frac{1}{2}\times AD\times DQ=\frac{1}{2}\times 8\times (6-t)=4(6-t)=24-4t$（不对，$Q$ 在 $CD$ 上）。

$Q$ 在 $CD$ 上，$CQ=t$，$DQ=6-t$。 $S_{\mathrm{△}ADQ}=\frac{1}{2}\times AD\times DQ$ 不对，应该用坐标。

$S_{\mathrm{△}BCP}=\frac{1}{2}\times BC\times PB=\frac{1}{2}\times 8\times (6-2t)=4(6-2t)=24-8t$。

$S_{\mathrm{△}ADQ}$，$Q$ 在 $CD$ 上，$DQ=6-t$。 $S_{\mathrm{△}ADQ}=\frac{1}{2}\times AD\times DQ$？不对。

$S_{\mathrm{△}ABQ}=\frac{1}{2}\times AB\times$ 高，不对。

正确方法：四边形 $APCQ$ 的面积 $=S_{\mathrm{矩}\mathrm{形}}-S_{\mathrm{△}ADQ}-S_{\mathrm{△}BCP}$。

$S_{\mathrm{△}BCP}=\frac{1}{2}\times BC\times PB=\frac{1}{2}\times 8\times (6-2t)=24-8t$。 不对，$PB$ 不是垂直距离。

$P$ 在 $AB$ 上，$S_{\mathrm{△}BCP}=\frac{1}{2}\times PB\times BC=\frac{1}{2}\times (6-2t)\times 8=24-8t$。

$Q$ 在 $CD$ 上，$S_{\mathrm{△}ADQ}=\frac{1}{2}\times DQ\times AD=\frac{1}{2}\times (6-t)\times 8=24-4t$。

$S_{APCQ}=48-(24-8t)-(24-4t)=48-24+8t-24+4t=12t$。

所以 $S=12t$（$0<t\le 4$）。

（2）$S=12t$ 在 $t=4$ 时最大，$S_{max}=48$。 但此时 $P$ 在 $B$ 点，$Q$ 在 $CD$ 上 $CQ=4$。

实际上 $4<t\le 7$ 时，$P$ 在 $BC$ 上，需要分段讨论。

$S=12t$（$0<t\le 4$），$t=4$ 时 $S=48$（整个矩形）。

41. （1）证明： 设正方形边长为 $4$，$BE=x$，则 $EC=4-x$。 $AE$ 绕 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $EF$，所以 $EF=AE$，$\mathrm{\angle }AEF=90°$。

$\mathrm{△}ABE$ 绕 $E$ 旋转 $90°$ 得到 $\mathrm{△}EC{F}^{\prime }$ 的形式。 实际上，过 $F$ 作 $FG\perp BC$ 交 $BC$ 延长线于 $G$。

$\mathrm{\angle }AEB+\mathrm{\angle }FEG=90°$（因为 $\mathrm{\angle }AEF=90°$）。 $\mathrm{\angle }AEB+\mathrm{\angle }BAE=90°$（在 Rt$\mathrm{△}ABE$ 中）。 所以 $\mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }FEG$。

又 $\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }EGF=90°$，$AE=EF$。 $\mathrm{△}ABE\cong \mathrm{△}EGF$（AAS）。

$FG=BE=x$，$EG=AB=4$。 $CG=EG-EC=4-(4-x)=x$。

所以 $FG=CG=x$，$\mathrm{△}CFG$ 为等腰直角三角形。 $\mathrm{\angle }FCG=45°$。

$\mathrm{\angle }DCB$ 的外角 $=90°$，$\mathrm{\angle }FCG=45°=\frac{1}{2}\times 90°$。 所以 $CF$ 平分 $\mathrm{\angle }DCB$ 的外角。

（2）$S=\frac{1}{2}A{E}^2=\frac{1}{2}(A{B}^2+B{E}^2)=\frac{1}{2}(16+x^2)=8+\frac{x^2}{2}$。

等等，$\mathrm{△}AEF$ 是等腰直角三角形，面积 $=\frac{1}{2}AE\times EF=\frac{1}{2}A{E}^2$。 $A{E}^2=A{B}^2+B{E}^2=16+x^2$。

$S=\frac{1}{2}(16+x^2)=\frac{x^2}{2}+8$。

当 $x=0$ 时 $S$ 最小，但 $E$ 不与 $B$ 重合，所以 $x\to 0$ 时 $S\to 8$。 实际上 $0<x<4$，$S$ 在 $x=0$ 时最小值为 $8$（但取不到）。

如果 $x$ 可以等于 $0$，最小值为 $8$。

42. （1）$A(-8,0)$，$B(0,6)$。

（2）$OA=8$，$OB=6$，$AB=\sqrt{64+36}=10$。

折叠后 $O$ 落在 $AB$ 上的 $D$ 处，$BC$ 为折痕。 $BD=BO=6$，$AD=AB-BD=10-6=4$。

设 $C(c,0)$，$c\in [-8,0]$，$OC=-c$。 $CD=CO=-c$。

在 $\mathrm{△}ACD$ 中，$AC=8+c$（$c$ 为负），$AD=4$，$CD=-c$。 $\cos A=\frac{OA}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。

$C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos A$$c^2=(8+c{)}^2+16-2(8+c)\times 4\times \frac{4}{5}$

（$c<0$，设 $OC=t$，$t>0$，$C(-t,0)$，$AC=8-t$）。

$t^2=(8-t{)}^2+16-2(8-t)\times 4\times \frac{4}{5}$$t^2=64-16t+t^2+16-\frac{32}{5}(8-t)$$0=80-16t-\frac{256}{5}+\frac{32t}{5}$$16t-\frac{32t}{5}=80-\frac{256}{5}$$\frac{80t-32t}{5}=\frac{400-256}{5}$$48t=144$，$t=3$。

所以 $C(-3,0)$。

（3）设 $P(0,p)$。 $B(0,6)$，$C(-3,0)$。 $BC=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。 $BP=|p-6|$，$CP=\sqrt{9+p^2}$。

情况1： $BP=BC$$|p-6|=3\sqrt{5}$$p=6\pm 3\sqrt{5}$$P(0,6+3\sqrt{5})$ 或 $P(0,6-3\sqrt{5})$。

情况2： $CP=BC$$\sqrt{9+p^2}=3\sqrt{5}$$9+p^2=45$，$p^2=36$，$p=\pm 6$。 $P(0,6)$ 即点 $B$（舍去）或 $P(0,-6)$。

情况3： $BP=CP$$(p-6{)}^2=9+p^2$$p^2-12p+36=9+p^2$$-12p=-27$，$p=\frac{9}{4}$。 $P(0,\frac{9}{4})$。

综上所述，满足条件的点 $P$ 有四个： $P_1(0,6+3\sqrt{5})$，$P_2(0,6-3\sqrt{5})$，$P_3(0,-6)$，$P_4(0,\frac{9}{4})$。

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使用说明： 本资料涵盖人教版八年级下册数学全部五章内容，建议配合教材系统复习。例题部分按难度分为基础、提高、拓展三个层次，期末复习题难度偏中上。解答题建议先独立完成，再对照答案检查。