人教版小学六年级下册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

第一单元：负数

• 负数的意义与读写
• 数轴的认识与运用
• 正负数的大小比较
• 负数在生活中的应用

第二单元：百分数（二）

• 折扣（几折的含义与计算）
• 成数（几成的含义与计算）
• 税率（应纳税额的计算）
• 利率（利息的计算）
• 百分数在实际生活中的综合应用

第三单元：圆柱与圆锥（★重点）

• 圆柱的认识：底面、侧面、高、展开图
• 圆柱的表面积：侧面积 + 两个底面积
• 圆柱的体积：$V=\pi r^{2}h$
• 圆锥的认识：底面、侧面、高、顶点
• 圆锥的体积：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• 圆柱与圆锥的关系：等底等高时，$V_{\mathrm{圆}\mathrm{柱}}=3V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}$
• 不规则物体体积的测量（排水法）

第四单元：比例（★重点）

• 比例的意义：表示两个比相等的式子
• 比例的基本性质：内项之积等于外项之积
• 解比例：已知比例中的三项，求第四项
• 正比例：两种相关联的量，比值一定
• 反比例：两种相关联的量，乘积一定
• 比例尺：图上距离:实际距离 = 比例尺
• 图形的放大与缩小
• 用比例解决问题

第五单元：数学广角——鸽巢问题

• 鸽巢原理的基本形式
• "至少"问题的思考方法
• 运用鸽巢原理解决实际问题

第六单元：整理和复习

• 数与代数：数的认识、数的运算、式与方程、比和比例
• 图形与几何：图形的认识与测量、图形的运动、图形与位置
• 统计与概率：统计图表、平均数、可能性
• 数学思考：找规律、逻辑推理
• 综合与实践：绿色出行、北京五日游、邮票中的数学问题、有趣的平衡

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二、各单元重要考点详解

第一单元：负数

考点1：正负数的意义

• 正数表示比0大的数，负数表示比0小的数
• 0既不是正数，也不是负数
• 正负数表示相反意义的量：如温度零上与零下、收入与支出、上升与下降

考点2：数轴

• 数轴三要素：原点、正方向、单位长度
• 数轴上右边的数总比左边的数大
• 负数 $<0<$ 正数；两个负数比较，绝对值大的反而小

考点3：正负数的读写

• 读法：先读"正"或"负"，再读数字
• 写法：正数可省略"+"号，负数必须写"$-$"号

第二单元：百分数（二）

考点1：折扣

• 几折 = 百分之几十（如八折 = 80%）
• 现价 = 原价 $\times$ 折扣
• 原价 = 现价 $÷$ 折扣
• 便宜金额 = 原价 $\times$ (1 $-$ 折扣)

考点2：成数

• 几成 = 百分之几十（如三成五 = 35%）
• 用于表示农业收成、工业生产增长等

考点3：税率

• 应纳税额 = 收入额 $\times$ 税率
• 税率 = 应纳税额 $÷$ 收入额

考点4：利率

• 利息 = 本金 $\times$ 利率 $\times$ 存期
• 本息和 = 本金 + 利息 = 本金 $\times$ (1 + 利率 $\times$ 存期)
• 注意：利率与时间单位的对应

第三单元：圆柱与圆锥（★重点）

考点1：圆柱的表面积

• 圆柱的侧面积 = 底面周长 $\times$ 高 = $2\pi r\cdot h=\pi d\cdot h$
• 圆柱的底面积 = $\pi r^2$
• 圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 $\times$ 2 = $2\pi rh+2\pi r^2$
• 易错点：无盖水桶、通风管等情况只需计算一个底面积或不计算底面积

考点2：圆柱的体积

• 圆柱的体积 = 底面积 $\times$ 高 = $\pi r^{2}h$
• 体积公式的推导：通过切割拼成长方体
• 已知体积求底面积或高：$S_{\mathrm{底}}=V÷h$，$h=V÷S_{\mathrm{底}}$

考点3：圆锥的体积

• 圆锥的体积 = $\frac{1}{3}\times$ 底面积 $\times$ 高 = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• 核心关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 $\frac{1}{3}$
• 已知体积求底面积或高：$S_{\mathrm{底}}=3V÷h$，$h=3V÷S_{\mathrm{底}}$

考点4：圆柱与圆锥的综合

• "等底等高"模型的灵活运用
• 熔铸问题：体积不变，形状改变
• 旋转体问题：直角三角形/长方形旋转形成圆锥/圆柱
• 排水法求不规则物体体积

考点5：实际问题中的圆柱圆锥

• 压路机压路面积、柱子刷漆面积
• 水杯、水桶、油桶的容积问题
• 沙堆、粮堆、铅锤的体积问题
• 切割问题：沿直径切开，增加的表面积是两个长方形

第四单元：比例（★重点）

考点1：比例的意义与基本性质

• 比例：表示两个比相等的式子（如 $a:b=c:d$）
• 比例的项：两端的两项叫外项，中间的两项叫内项
• 基本性质：外项之积 = 内项之积（$a\times d=b\times c$）
• 判断两个比能否组成比例：看比值是否相等或看内项积是否等于外项积

考点2：解比例

• 根据比例的基本性质，将比例转化为方程求解
• 常见类型：求未知项、按比例分配、已知比和一项求另一项

考点3：正比例与反比例的判断

	正比例	反比例
定义	两种量，比值一定	两种量，乘积一定
关系式	$\frac{y}{x}=k$（一定）	$x\times y=k$（一定）
变化方向	同增同减	一增一减
图像	过原点的直线	双曲线
判断口诀	"商一定，成正比"	"积一定，成反比"

常见正比例关系：速度一定，路程与时间；单价一定，总价与数量 常见反比例关系：路程一定，速度与时间；总价一定，单价与数量

考点4：比例尺

• 比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = $\frac{\mathrm{图}\mathrm{上}\mathrm{距}\mathrm{离}}{\mathrm{实}\mathrm{际}\mathrm{距}\mathrm{离}}$
• 分类：数值比例尺（如 1:100000）和线段比例尺
• 放大比例尺（如 5:1）与缩小比例尺（如 1:500）
• 注意：计算时单位要统一

考点5：图形的放大与缩小

• 按比放大或缩小后，形状不变，大小改变
• 对应边成比例，对应角相等
• 面积比 = 边长比的平方（如按 2:1 放大，面积变为原来的 4 倍）

考点6：用比例解决问题

• 判断两种量成正比例还是反比例
• 设未知数，根据比例关系列方程
• 解方程并检验

第五单元：鸽巢问题

考点1：鸽巢原理

• 基本形式：把 $n+1$ 个物体放进 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉放不少于2个物体
• 一般形式：把 $m$ 个物体放进 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉放不少于 $\lceil m/n\rceil$ 个物体
• 计算方法：物体数 $÷$ 抽屉数 = 商 $\cdots \cdots$ 余数，至少数 = 商 + 1（有余数时）

考点2：解题关键

• 找准"物体"和"抽屉"
• "最不利原则"：考虑最差情况
• "至少"的含义理解

第六单元：整理和复习

考点1：数与代数

• 整数、分数、小数、百分数、负数的综合认识
• 四则运算的法则与运算律
• 简易方程的解法与应用
• 比、分数、除法的关系

考点2：图形与几何

• 平面图形：周长与面积公式
• 立体图形：表面积与体积公式
• 圆柱、圆锥与其他立体图形的联系
• 图形的运动：平移、旋转、轴对称

考点3：统计与概率

• 统计图的选择：条形统计图（比较数量）、折线统计图（看趋势）、扇形统计图（看占比）
• 平均数、中位数、众数
• 可能性的描述与计算

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三、常见题型与例题

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第一单元：负数

例题1（基础）

在 $-3$、$+2.5$、$0$、$-\frac{1}{2}$、$+120$、$-0.05$、$\frac{3}{4}$ 中，正数有哪些？负数有哪些？哪个数既不是正数也不是负数？

解答： 正数有：$+2.5$、$+120$、$\frac{3}{4}$（共3个） 负数有：$-3$、$-\frac{1}{2}$、$-0.05$（共3个） $0$ 既不是正数也不是负数。

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例题2（基础）

在数轴上标出 $-4$、$-1$、$0$、$+2$、$+5$ 各点，并比较它们的大小。

解答： 数轴上从左到右依次排列：$-4$、$-1$、$0$、$+2$、$+5$ 大小关系：$-4<-1<0<+2<+5$

方法总结：数轴上左边的数总比右边的数小；负数 $<0<$ 正数。

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例题3（提高）

某市一周的最高气温记录如下（单位：${}^{\circ }C$）：周一 $+8$，周二 $-2$，周三 $-5$，周四 $0$，周五 $+3$，周六 $-1$，周日 $+6$。 (1) 这周最高气温最高是多少？最低是多少？ (2) 将这一周的最低气温从高到低排列。

解答： (1) 最高的是周一的 $+8^{\circ }C$；最低的是周三的 $-5^{\circ }C$。

(2) 从高到低排列：$+6>+3>0>-1>-2>-5$

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例题4（提高）

在 $◯$ 里填上 "$>$""$<$"或"$=$"。

$$-7◯-3-\frac{2}{5}◯-\frac{3}{5}0◯-0.01-(-2)◯+2$$

解答：$-7<-3$（两个负数比较，绝对值大的反而小） $-\frac{2}{5}>-\frac{3}{5}$（$|-\frac{2}{5}|=0.4<|-\frac{3}{5}|=0.6$） $0>-0.01$（0大于一切负数） $-(-2)=+2$（负负得正）

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例题5（拓展）

小明从家出发向东走 $50$ 米记作 $+50$ 米，到达书店后又向西走了 $120$ 米。 (1) 这时小明在什么位置？用正负数如何表示？ (2) 如果小明现在的位置记作 $-30$ 米，说明他从书店又向哪个方向走了多少米？

解答： (1) 向东为正，则向西为负。 小明先走 $+50$ 米，再走 $-120$ 米（向西120米）。 位置：$+50+(-120)=-70$（米） 答：小明在家的西边 $70$ 米处，用 $-70$ 米表示。

(2) 从书店位置（$-70$ 米处）到 $-30$ 米处： $-30-(-70)=+40$（米） 答：说明他从书店又向东走了 $40$ 米。

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第二单元：百分数（二）

例题6（基础）

一件上衣原价 $200$ 元，现在打八折出售，现价多少元？比原价便宜多少元？

解答： 现价 = 原价 $\times$ 折扣 = $200\times 80\mathrm{\%}=200\times 0.8=160$（元） 便宜金额 = 原价 $-$ 现价 = $200-160=40$（元） 或：便宜金额 = 原价 $\times$ $(1-80\mathrm{\%})$ = $200\times 20\mathrm{\%}=40$（元）

答：现价 $160$ 元，比原价便宜 $40$ 元。

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例题7（基础）

王叔叔每月工资 $8000$ 元，按国家规定，工资超过 $5000$ 元的部分要缴纳 $3\mathrm{\%}$ 的个人所得税。王叔叔每月应缴纳个人所得税多少元？

解答： 应纳税所得额 = $8000-5000=3000$（元） 个人所得税 = $3000\times 3\mathrm{\%}=3000\times 0.03=90$（元）

答：王叔叔每月应缴纳个人所得税 $90$ 元。

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例题8（提高）

张阿姨把 $20000$ 元存入银行，定期三年，年利率为 $2.75\mathrm{\%}$。到期时张阿姨可以取回本金和利息共多少元？

解答： 利息 = 本金 $\times$ 利率 $\times$ 存期 = $20000\times 2.75\mathrm{\%}\times 3=20000\times 0.0275\times 3=1650$（元） 本息和 = 本金 + 利息 = $20000+1650=21650$（元）

答：到期时可以取回 $21650$ 元。

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例题9（提高）

一台电视机先涨价 $20\mathrm{\%}$，后又打八折出售，现价与原价相比是贵了还是便宜了？相差多少？（设原价为 $3000$ 元）

解答： 原价 $3000$ 元。 涨价 $20\mathrm{\%}$ 后的价格：$3000\times (1+20\mathrm{\%})=3000\times 1.2=3600$（元） 再打八折：$3600\times 80\mathrm{\%}=3600\times 0.8=2880$（元）

$2880<3000$，现价比原价便宜。 $3000-2880=120$（元）

答：现价比原价便宜了 $120$ 元。

易错警示：先涨 $20\mathrm{\%}$ 再降 $20\mathrm{\%}$ 不会回到原价！

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例题10（拓展）

某商店将某种服装按成本价提高 $40\mathrm{\%}$ 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利 $24$ 元。这种服装的成本价是多少元？

解答： 设成本价为 $x$ 元。 标价 = $x\times (1+40\mathrm{\%})=1.4x$ 售价 = $1.4x\times 80\mathrm{\%}=1.4x\times 0.8=1.12x$ 利润 = 售价 $-$ 成本 = $1.12x-x=0.12x$

由题意：$0.12x=24$$x=24÷0.12=200$

答：这种服装的成本价是 $200$ 元。

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第三单元：圆柱与圆锥（★重点）

例题11（基础）

一个圆柱的底面半径是 $3$ cm，高是 $10$ cm，求它的侧面积和表面积。

解答： 侧面积 = $2\pi rh=2\times 3.14\times 3\times 10=188.4$（cm${}^2$） 底面积 = $\pi r^2=3.14\times 3^2=3.14\times 9=28.26$（cm${}^2$） 表面积 = 侧面积 + 底面积 $\times$ 2 = $188.4+28.26\times 2=188.4+56.52=244.92$（cm${}^2$）

答：侧面积是 $188.4$ cm${}^2$，表面积是 $244.92$ cm${}^2$。

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例题12（基础）

一个圆柱形水桶，底面直径是 $4$ dm，高 $5$ dm。这个水桶的容积是多少升？（水桶厚度忽略不计）

解答： 半径 $r=4÷2=2$（dm） 体积 = $\pi r^{2}h=3.14\times 2^2\times 5=3.14\times 4\times 5=62.8$（dm${}^3$）

因为 $1$ dm${}^3$ = $1$ 升，所以容积是 $62.8$ 升。

答：这个水桶的容积是 $62.8$ 升。

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例题13（提高）

一个圆锥形沙堆，底面周长是 $18.84$ 米，高是 $2$ 米。如果每立方米沙重 $1.5$ 吨，这堆沙约重多少吨？（$\pi$ 取 $3.14$）

解答： 先求底面半径：$C=2\pi r$，所以 $r=C÷(2\pi )=18.84÷(2\times 3.14)=18.84÷6.28=3$（米）

圆锥体积 = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times 3.14\times 3^2\times 2=\frac{1}{3}\times 3.14\times 9\times 2=3.14\times 6=18.84$（立方米）

沙的重量 = $18.84\times 1.5=28.26$（吨）

答：这堆沙约重 $28.26$ 吨。

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例题14（提高）

把一个底面半径为 $5$ cm、高为 $12$ cm 的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径为 $10$ cm 的圆锥形铁块。这个圆锥的高是多少厘米？

解答：关键：熔铸前后体积不变。

圆柱体积 = $\pi r^{2}h=3.14\times 5^2\times 12=3.14\times 25\times 12=942$（cm${}^3$）

设圆锥的高为 $h$，则： 圆锥体积 = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times 3.14\times {10}^2\times h=\frac{314}{3}h$

由体积相等：$\frac{314}{3}h=942$$h=942\times 3÷314=2826÷314=9$（cm）

答：这个圆锥的高是 $9$ cm。

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例题15（提高）

一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 $2$ 米，直径 $1.2$ 米。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？如果前轮每分钟转 $10$ 周，这台压路机 $5$ 分钟能压路多少平方米？

解答： 前轮转动一周，压路面积 = 圆柱的侧面积 侧面积 = $\pi d\times$ 轮宽 = $3.14\times 1.2\times 2=7.536$（平方米）

每分钟压路面积 = $7.536\times 10=75.36$（平方米） $5$ 分钟压路面积 = $75.36\times 5=376.8$（平方米）

答：前轮转动一周压路 $7.536$ 平方米；$5$ 分钟能压路 $376.8$ 平方米。

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例题16（拓展）

一个圆柱形木块的底面直径是 $10$ cm，高是 $8$ cm。如果沿着底面直径垂直切开，分成两块完全相同的半圆柱，表面积增加了多少？每一块的表面积是多少？

解答：分析：沿直径切开，增加的表面积是两个长方形的面积。

增加的一个长方形的面积 = 直径 $\times$ 高 = $10\times 8=80$（cm${}^2$） 增加的表面积 = $80\times 2=160$（cm${}^2$）

每一块的表面积 = 原来圆柱表面积的一半 + 切面面积

圆柱的表面积： 侧面积 = $\pi dh=3.14\times 10\times 8=251.2$（cm${}^2$） 底面积 = $\pi r^2=3.14\times 5^2=78.5$（cm${}^2$） 圆柱表面积 = $251.2+78.5\times 2=251.2+157=408.2$（cm${}^2$）

一半的表面积 = $408.2÷2=204.1$（cm${}^2$） 加上切面面积：$204.1+80=284.1$（cm${}^2$）

答：表面积增加了 $160$ cm${}^2$；每一块的表面积是 $284.1$ cm${}^2$。

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例题17（拓展）

一个底面半径是 $6$ cm 的圆柱形容器里装有水，水面高度是 $10$ cm。将一个底面半径是 $3$ cm 的圆锥形铁块完全浸没在水中后，水面上升到 $11$ cm。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？

解答：关键：圆锥体积 = 上升的水的体积

水面上升的高度 = $11-10=1$（cm） 上升的水的体积（即圆锥体积）= $\pi r^{2}h=3.14\times 6^2\times 1=3.14\times 36=113.04$（cm${}^3$）

设圆锥的高为 $h$： $V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$113.04=\frac{1}{3}\times 3.14\times 3^2\times h$$113.04=\frac{1}{3}\times 3.14\times 9\times h$$113.04=9.42h$$h=113.04÷9.42=12$（cm）

答：这个圆锥形铁块的高是 $12$ cm。

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第四单元：比例（★重点）

例题18（基础）

判断下面哪组中的两个比可以组成比例？ (1) $6:9$ 和 $8:12$ (2) $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$ 和 $0.3:0.2$

解答： (1) 方法一（看比值）： $6:9=6÷9=\frac{2}{3}$$8:12=8÷12=\frac{2}{3}$ 比值相等，可以组成比例：$6:9=8:12$

方法二（看内项积是否等于外项积）： 假设 $6:9=8:12$，内项积 $=9\times 8=72$，外项积 $=6\times 12=72$$72=72$，可以组成比例。

(2) $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\times 3=\frac{3}{2}=1.5$$0.3:0.2=0.3÷0.2=1.5$ 比值相等，可以组成比例：$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=0.3:0.2$

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例题19（基础）

解比例：$\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=x:\frac{4}{9}$

解答： 根据比例的基本性质（内项之积 = 外项之积）： $\frac{1}{2}\times x=\frac{3}{4}\times \frac{4}{9}$$\frac{1}{2}x=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$x=\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}$

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例题20（提高）

判断下面各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ (1) 速度一定，路程和时间 (2) 总价一定，单价和数量 (3) 一个人的年龄和身高 (4) 圆的周长和直径

解答： (1) $\frac{\mathrm{路}\mathrm{程}}{\mathrm{时}\mathrm{间}}=$ 速度（一定），商一定，成正比例。

(2) 单价 $\times$ 数量 = 总价（一定），积一定，成反比例。

(3) 一个人的年龄和身高，虽然都是变化的量，但它们的比值和乘积都不是一定的，不成比例。

(4) $\frac{\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{周}\mathrm{长}}{\mathrm{直}\mathrm{径}}=\pi$（一定），商一定，成正比例。

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例题21（提高）

在一幅比例尺是 $1:5000000$ 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 $3.6$ cm。甲、乙两地的实际距离是多少千米？

解答： 设实际距离为 $x$ cm。 $3.6:x=1:5000000$$x=3.6\times 5000000=18000000$（cm）

$18000000$ cm = $180000$ m = $180$ km

答：甲、乙两地的实际距离是 $180$ 千米。

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例题22（提高）

一个长方形操场，长 $120$ m，宽 $80$ m。画在比例尺是 $1:4000$ 的图纸上，长和宽各应画多少厘米？图上面积与实际面积的比是多少？

解答： 实际长 $120$ m = $12000$ cm，实际宽 $80$ m = $8000$ cm

图上长 = $12000\times \frac{1}{4000}=3$（cm） 图上宽 = $8000\times \frac{1}{4000}=2$（cm）

图上面积 = $3\times 2=6$（cm${}^2$） 实际面积 = $120\times 80=9600$（m${}^2$）= $96000000$（cm${}^2$）

图上面积 : 实际面积 = $6:96000000=1:16000000$

重要发现：面积比 = $(1:4000{)}^2=1:16000000$，面积比等于比例尺的平方！

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例题23（提高）

一辆汽车从甲地开往乙地，$3$ 小时行了 $180$ km。照这样的速度，再行 $2$ 小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）

解答： 速度一定，路程与时间成正比例。

设甲、乙两地相距 $x$ km。 $\frac{180}{3}=\frac{x}{3+2}$$\frac{180}{3}=\frac{x}{5}$$60=\frac{x}{5}$$x=300$

答：甲、乙两地相距 $300$ 千米。

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例题24（拓展）

一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行 $60$ km，$5$ 小时可以到达；如果每小时行 $75$ km，可以提前几小时到达？（用比例解）

解答： 路程一定，速度与时间成反比例。

设每小时行 $75$ km 时需要 $x$ 小时。 $75\times x=60\times 5$$75x=300$$x=4$（小时）

提前时间 = $5-4=1$（小时）

答：可以提前 $1$ 小时到达。

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例题25（拓展）

甲、乙两个长方形容器的底面积之比是 $4:5$，都装满水后，水深之比是 $3:2$。这两个容器中的水的体积之比是多少？如果甲容器中水的体积是 $48$ 升，乙容器中水的体积是多少升？

解答： (1) 体积 = 底面积 $\times$ 高（水深） $V_{\mathrm{甲}}:V_{\mathrm{乙}}=(4\times 3):(5\times 2)=12:10=6:5$

(2) 设乙容器中水的体积为 $x$ 升。 $48:x=6:5$$6x=48\times 5=240$$x=40$

答：两个容器中水的体积之比是 $6:5$；乙容器中水的体积是 $40$ 升。

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第五单元：数学广角——鸽巢问题

例题26（基础）

把 $7$ 个苹果放进 $3$ 个抽屉里，至少有一个抽屉里放几个苹果？

解答：$7÷3=2$（个）$\cdots \cdots 1$（个） 余下的 $1$ 个苹果无论放进哪个抽屉，都会使那个抽屉有 $2+1=3$ 个苹果。

答：至少有一个抽屉里放 $3$ 个苹果。

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例题27（提高）

一个盒子里有同样大小的红球、黄球、蓝球各 $5$ 个。至少要摸出几个球，才能保证一定有两个球的颜色相同？

解答：最不利原则：假设先摸出的 $3$ 个球颜色各不相同（红、黄、蓝各1个）。 再摸出第 $4$ 个球时，无论是什么颜色，都会与前面某个球颜色相同。

所以至少摸出 $3+1=4$ 个球。

答：至少要摸出 $4$ 个球。

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例题28（拓展）

班上有 $45$ 名同学，老师至少拿多少本书随意分给大家，才能保证至少有一名同学得到不少于 $3$ 本书？

解答：思路：把 $45$ 名同学看作 $45$ 个"抽屉"。

要保证至少有一名同学得到不少于 $3$ 本书，考虑最不利情况： 每名同学先分得 $2$ 本书，共分出去 $45\times 2=90$ 本。 此时再拿 $1$ 本，无论分给谁，都会使该同学有 $3$ 本。

所以至少需要 $90+1=91$ 本。

答：老师至少拿 $91$ 本书。

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第六单元：整理和复习（精选典型题）

例题29（基础·数的运算）

计算：$\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}÷\frac{5}{8}$

解答：$\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}÷\frac{5}{8}$$=\frac{5\times 3}{6\times 10}\times \frac{8}{5}$$=\frac{15}{60}\times \frac{8}{5}$$=\frac{1}{4}\times \frac{8}{5}$$=\frac{8}{20}$$=\frac{2}{5}$

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例题30（提高·式与方程）

一个数的 $40\mathrm{\%}$ 比它的 $\frac{1}{5}$ 多 $15$，这个数是多少？（用方程解）

解答： 设这个数为 $x$。 $40\mathrm{\%}x-\frac{1}{5}x=15$$0.4x-0.2x=15$$0.2x=15$$x=15÷0.2=75$

答：这个数是 $75$。

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例题31（提高·图形与几何）

求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 一个正方形边长为 $8$ cm，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画四分之一圆，求正方形内圆外部分的面积。

解答： 阴影面积 = 正方形面积 $-$ 四分之一圆面积 正方形面积 = $8\times 8=64$（cm${}^2$） 四分之一圆面积 = $\frac{1}{4}\times \pi r^2=\frac{1}{4}\times 3.14\times 8^2=\frac{1}{4}\times 3.14\times 64=50.24$（cm${}^2$）

阴影面积 = $64-50.24=13.76$（cm${}^2$）

答：阴影部分面积是 $13.76$ cm${}^2$。

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例题32（拓展·综合应用）

小明看一本书，第一天看了全书的 $\frac{1}{4}$，第二天看了全书的 $30\mathrm{\%}$，还剩下 $45$ 页没有看。这本书一共有多少页？

解答： 设全书共 $x$ 页。 第一天看了 $\frac{1}{4}x$，第二天看了 $30\mathrm{\%}x=0.3x$ 剩下：$x-\frac{1}{4}x-0.3x=45$$x-0.25x-0.3x=45$$0.45x=45$$x=100$

答：这本书一共有 $100$ 页。

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四、期末综合复习题

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 在 $-8$、$+3.5$、$0$、$-0.7$、$+120$、$-\frac{5}{6}$ 中，负数有（　　）个。

   • A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 5

2. 一件商品打七五折出售，也就是降价（　　）。

   • A. $7.5\mathrm{\%}$　　B. $25\mathrm{\%}$　　C. $75\mathrm{\%}$　　D. $17.5\mathrm{\%}$

3. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 $48$ cm${}^3$，那么圆锥的体积是（　　）cm${}^3$。

   • A. 12　　B. 16　　C. 24　　D. 36

4. 下面各组中的两个比，不能组成比例的是（　　）。

   • A. $5:8$ 和 $10:16$
   • B. $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$ 和 $4:3$
   • C. $0.6:0.2$ 和 $\frac{3}{4}:\frac{1}{4}$
   • D. $12:6$ 和 $3:1$

5. 如果 $\frac{x}{5}=\frac{7}{y}$（$x$、$y$ 均不为0），那么 $x$ 和 $y$（　　）。

   • A. 成正比例　　B. 成反比例　　C. 不成比例　　D. 无法判断

6. 在比例尺是 $1:6000000$ 的地图上，量得南京到北京的距离约为 $15$ cm。南京到北京的实际距离大约是（　　）千米。

   • A. 90　　B. 900　　C. 9000　　D. 90000

7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面直径与高的比是（　　）。

   • A. $1:1$　　B. $1:\pi$　　C. $\pi :1$　　D. $1:2\pi$

8. 把 $10$ 支铅笔放入 $3$ 个笔筒中，至少有一个笔筒中放入了（　　）支铅笔。

   • A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6

9. 王叔叔把 $10000$ 元存入银行，定期两年，年利率是 $2.25\mathrm{\%}$。到期时他可以取回（　　）元。

   • A. $10225$　　B. $10450$　　C. $225$　　D. $450$

10. 下面说法正确的是（　　）。

    • A. 圆柱的体积是圆锥体积的 $3$ 倍
    • B. 两种相关联的量，不成正比例就成反比例
    • C. 在数轴上，$-3$ 在 $-5$ 的左边
    • D. 把一个正方形按 $2:1$ 放大后，面积扩大到原来的 $4$ 倍

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二、填空题（每空2分，共20分）

11. 如果向东走 $50$ m 记作 $+50$ m，那么向西走 $30$ m 记作 ______ m；$\mathbf{\text{-}}20$ m 表示 ______。

12. 六折 = ______$\mathrm{\%}$ = $\frac{()}{10}$；三成五 = ______$\mathrm{\%}$。

13. 一个圆柱的底面半径是 $4$ cm，高是 $5$ cm，它的侧面积是 ______ cm${}^2$，体积是 ______ cm${}^3$。

14. 一个圆锥的体积是 $36$ cm${}^3$，底面积是 $12$ cm${}^2$，它的高是 ______ cm。

15. 如果 $5a=7b$（$a$、$b$ 均不为0），那么 $a:b=$ ______ : ______。

16. 一幅地图的比例尺是 $\underset{⌣}{0}$ $\stackrel{30}{\underset{⌣}{\text{km}}}$，改写成数值比例尺是 ______。在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是 $4$ cm，甲、乙两地的实际距离是 ______ km。

17. 箱子里有同样大小的红球 $4$ 个、黄球 $5$ 个、蓝球 $6$ 个，至少摸出 ______ 个球，才能保证一定有 $2$ 个球颜色相同。

18. 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积也相等。如果圆锥的高是 $18$ cm，那么圆柱的高是 ______ cm。

19. 某商品原价 $200$ 元，先涨价 $10\mathrm{\%}$，再降价 $10\mathrm{\%}$，现价是 ______ 元。

20. 一个长方形的长是 $6$ cm，宽是 $4$ cm。按 $3:1$ 放大后，新长方形的面积是 ______ cm${}^2$。

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三、计算题（共32分）

21. 直接写出得数。（8分）

    • $3.6\times \frac{5}{9}=$ ______
    • $\frac{3}{4}÷\frac{9}{16}=$ ______
    • $1-35\mathrm{\%}=$ ______
    • $\frac{5}{8}+\frac{1}{4}=$ ______
    • $\frac{2}{3}\times \frac{6}{7}÷\frac{4}{7}=$ ______
    • $40÷25\mathrm{\%}=$ ______
    • $\frac{7}{12}-\frac{1}{3}=$ ______
    • $2.5\times 4÷2.5\times 4=$ ______

22. 计算下面各题，能简算的要简算。（12分）

    • (1) $\frac{7}{9}\times \frac{5}{11}+\frac{2}{9}÷\frac{11}{5}$
    • (2) $48\times (\frac{5}{6}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2})$
    • (3) $\frac{8}{9}÷[\frac{5}{6}\times (\frac{3}{4}-\frac{1}{3})]$
    • (4) $3.7\times \frac{5}{6}+6.3÷\frac{6}{5}$

23. 解比例。（12分）

    • (1) $x:24=3:8$
    • (2) $\frac{1.2}{x}=\frac{0.5}{4}$
    • (3) $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=x:\frac{8}{15}$
    • (4) $\frac{2.4}{1.5}=\frac{6}{x}$

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四、解决问题（共28分）

24.（6分）一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 $1.5$ 米，底面直径 $1$ 米。前轮每分钟滚动 $8$ 周，$10$ 分钟能压路多少平方米？

25.（6分）一个圆锥形沙堆的底面周长是 $12.56$ 米，高是 $1.5$ 米。用这堆沙在宽 $4$ 米的公路上铺 $2$ cm 厚的路面，能铺多少米长？

26.（5分）在一幅比例尺是 $1:2000000$ 的地图上，量得 A、B 两地的距离是 $6$ cm。一辆汽车以每小时 $80$ km 的速度从 A 地开往 B 地，几小时可以到达？

27.（5分）小明读一本故事书，如果每天读 $30$ 页，$8$ 天可以读完。如果小明想 $6$ 天读完，平均每天需要读多少页？（用比例解）

28.（6分）一个圆柱形无盖水桶，底面直径是 $6$ dm，高是 $8$ dm。 (1) 制作这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？ (2) 这个水桶最多能装水多少升？（铁皮厚度忽略不计）

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五、拓展提高题（共20分）

29.（7分）一个圆柱形木块的高是 $8$ cm，如果沿水平方向截去高 $2$ cm 的一段后，表面积减少了 $25.12$ cm${}^2$。原来圆柱的体积是多少立方厘米？

30.（6分）一个直角三角形的两条直角边分别是 $3$ cm 和 $4$ cm，以其中一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形的体积最大是多少立方厘米？

31.（7分）甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，相遇时甲、乙两车行驶的路程比是 $4:5$。已知甲车每小时行 $60$ km，乙车行完全程需要 $6$ 小时。A、B 两地相距多少千米？

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五、参考答案与解析

一、选择题答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	B	B	A	D	B	B	B	B	B	D

详细解析：

1. 负数有：$-8$、$-0.7$、$-\frac{5}{6}$，共3个。选 B。

2. 七五折 = $75\mathrm{\%}$，降价 $100\mathrm{\%}-75\mathrm{\%}=25\mathrm{\%}$。选 B。

3. 等底等高时，$V_{\mathrm{圆}\mathrm{柱}}=3V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}$。体积和 = $V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}+3V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}=4V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}=48$，所以 $V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}=12$ cm${}^3$。选 A。

4. D 中 $12:6=2$，$3:1=3$，比值不相等，不能组成比例。选 D。

5. $\frac{x}{5}=\frac{7}{y}$，交叉相乘得 $xy=35$（积一定），所以成反比例。选 B。

6. 实际距离 = $15\times 6000000=90000000$ cm = $900$ km。选 B。

7. 侧面展开是正方形 $\Rightarrow$ 底面周长 = 高，即 $\pi d=h$，所以 $d:h=1:\pi$。选 B。

8. $10÷3=3$（支）$\cdots \cdots 1$（支），$3+1=4$ 支。选 B。

9. 利息 = $10000\times 2.25\mathrm{\%}\times 2=450$ 元，本息 = $10000+450=10450$ 元。选 B。

10. A 缺少"等底等高"条件；B 还有不成比例的情况；C 数轴上 $-3$ 在 $-5$ 的右边；D 正确，面积比 = 边长比的平方 = $4:1$。选 D。

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二、填空题答案

11. $\mathbf{\text{-}}30$；向西走了20米

12. 60；6；35

13. 侧面积 = $2\times 3.14\times 4\times 5=$\textbf{125.6} cm${}^2$；体积 = $3.14\times 4^2\times 5=$\textbf{251.2} cm${}^3$

14. $V=\frac{1}{3}{S}_{\mathrm{底}}h$，$h=3V÷S_{\mathrm{底}}=3\times 36÷12=$\textbf{9} cm

15. $5a=7b\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{7}{5}$，所以 $a:b=$\textbf{7} : \textbf

16. 线段比例尺表示图上1 cm = 实际30 km = 3000000 cm，数值比例尺为 $1:3000000$；实际距离 = $4\times 30=$\textbf{120} km

17. 3种颜色看作3个抽屉，$3+1=$\textbf{4} 个

18. 等底等体积时，$h_{\mathrm{圆}\mathrm{柱}}=\frac{1}{3}{h}_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}=18÷3=$\textbf{6} cm

19. $200\times (1+10\mathrm{\%})\times (1-10\mathrm{\%})=200\times 1.1\times 0.9=220\times 0.9=$\textbf{198} 元

20. 放大后长 = $6\times 3=18$ cm，宽 = $4\times 3=12$ cm，面积 = $18\times 12=$\textbf{216} cm${}^2$

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三、计算题答案

21. 直接写出得数：

    • $3.6\times \frac{5}{9}=$ 2
    • $\frac{3}{4}÷\frac{9}{16}=\frac{3}{4}\times \frac{16}{9}=$ $\frac{4}{3}$
    • $1-35\mathrm{\%}=$ $0.65$（或 $65\mathrm{\%}$）
    • $\frac{5}{8}+\frac{1}{4}=\frac{5}{8}+\frac{2}{8}=$ $\frac{7}{8}$
    • $\frac{2}{3}\times \frac{6}{7}÷\frac{4}{7}=\frac{4}{7}\times \frac{7}{4}=$ 1
    • $40÷25\mathrm{\%}=40÷0.25=$ 160
    • $\frac{7}{12}-\frac{1}{3}=\frac{7}{12}-\frac{4}{12}=$ $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
    • $2.5\times 4÷2.5\times 4=(2.5÷2.5)\times (4\times 4)=$ 16

22. 脱式计算：

    (1) $\frac{7}{9}\times \frac{5}{11}+\frac{2}{9}÷\frac{11}{5}$$=\frac{7}{9}\times \frac{5}{11}+\frac{2}{9}\times \frac{5}{11}$$=\frac{5}{11}\times (\frac{7}{9}+\frac{2}{9})$$=\frac{5}{11}\times 1$$=$\textbf{$\frac{5}{11}$}

    (2) $48\times (\frac{5}{6}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2})$$=48\times \frac{5}{6}-48\times \frac{3}{4}+48\times \frac{1}{2}$$=40-36+24$$=$\textbf

    (3) $\frac{8}{9}÷[\frac{5}{6}\times (\frac{3}{4}-\frac{1}{3})]$$=\frac{8}{9}÷[\frac{5}{6}\times (\frac{9}{12}-\frac{4}{12})]$$=\frac{8}{9}÷[\frac{5}{6}\times \frac{5}{12}]$$=\frac{8}{9}÷\frac{25}{72}$$=\frac{8}{9}\times \frac{72}{25}$$=\frac{8\times 8}{25}$$=$\textbf{$\frac{64}{25}$}

    (4) $3.7\times \frac{5}{6}+6.3÷\frac{6}{5}$$=3.7\times \frac{5}{6}+6.3\times \frac{5}{6}$$=(3.7+6.3)\times \frac{5}{6}$$=10\times \frac{5}{6}$$=$\textbf{$\frac{25}{3}$}

23. 解比例：

    (1) $x:24=3:8$$8x=24\times 3$$8x=72$$x=$\textbf

    (2) $\frac{1.2}{x}=\frac{0.5}{4}$$0.5x=1.2\times 4$$0.5x=4.8$$x=4.8÷0.5=$\textbf

    (3) $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=x:\frac{8}{15}$$\frac{2}{5}x=\frac{3}{4}\times \frac{8}{15}$$\frac{2}{5}x=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$$x=\frac{2}{5}÷\frac{2}{5}=$\textbf

    (4) $\frac{2.4}{1.5}=\frac{6}{x}$$2.4x=1.5\times 6$$2.4x=9$$x=9÷2.4=$\textbf

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四、解决问题答案

24. 解： 前轮侧面积 = $\pi d\times$ 轮宽 = $3.14\times 1\times 1.5=4.71$（平方米）

    每分钟压路面积 = $4.71\times 8=37.68$（平方米）

    $10$ 分钟压路面积 = $37.68\times 10=376.8$（平方米）

    答：$10$ 分钟能压路 $376.8$ 平方米。

25. 解： 先求底面半径：$r=C÷(2\pi )=12.56÷(2\times 3.14)=12.56÷6.28=2$（米）

    圆锥体积 = $\frac{1}{3}\times 3.14\times 2^2\times 1.5=\frac{1}{3}\times 3.14\times 4\times 1.5=6.28$（立方米）

    铺路面相当于一个长方体，厚 $2$ cm = $0.02$ m。

    长方体体积 = 长 $\times$ 宽 $\times$ 高 长 = 体积 $÷$ (宽 $\times$ 高) = $6.28÷(4\times 0.02)=6.28÷0.08=78.5$（米）

    答：能铺 $78.5$ 米长。

26. 解： 设 A、B 两地实际距离为 $x$ cm。

    $6:x=1:2000000$$x=6\times 2000000=12000000$（cm）= $120$（km）

    时间 = 路程 $÷$ 速度 = $120÷80=1.5$（小时）

    答：$1.5$ 小时可以到达。

27. 解： 书的总页数一定，每天读的页数与天数成反比例。

    设平均每天需要读 $x$ 页。

    $6x=30\times 8$$6x=240$$x=40$

    答：平均每天需要读 $40$ 页。

28. 解： (1) 无盖水桶，需要的铁皮 = 侧面积 + 一个底面积

    半径 $r=6÷2=3$（dm）

    侧面积 = $2\times 3.14\times 3\times 8=150.72$（dm${}^2$）

    底面积 = $3.14\times 3^2=28.26$（dm${}^2$）

    需要铁皮 = $150.72+28.26=178.98$（dm${}^2$）

    (2) 容积 = $3.14\times 3^2\times 8=3.14\times 9\times 8=226.08$（dm${}^3$）= $226.08$（升）

    答：(1) 至少需要铁皮 $178.98$ 平方分米；(2) 最多能装水 $226.08$ 升。

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五、拓展提高题答案

29. 解：分析：沿水平方向截去高 $2$ cm 的一段后，表面积减少的部分就是截去的小圆柱的侧面积。

    减少的侧面积 = 底面周长 $\times$ 截去的高

    底面周长 = $25.12÷2=12.56$（cm）

    底面半径 = $12.56÷(2\times 3.14)=12.56÷6.28=2$（cm）

    原来圆柱的体积 = $\pi r^{2}h=3.14\times 2^2\times 8=3.14\times 4\times 8=100.48$（cm${}^3$）

    答：原来圆柱的体积是 $100.48$ cm${}^3$。

30. 解：分析：以直角边为轴旋转，得到的是圆锥。

    情况一：以 $3$ cm 的直角边为轴旋转

    • 底面半径 $r=4$ cm，高 $h=3$ cm
    • 体积 = $\frac{1}{3}\times 3.14\times 4^2\times 3=\frac{1}{3}\times 3.14\times 16\times 3=50.24$（cm${}^3$）

    情况二：以 $4$ cm 的直角边为轴旋转

    • 底面半径 $r=3$ cm，高 $h=4$ cm
    • 体积 = $\frac{1}{3}\times 3.14\times 3^2\times 4=\frac{1}{3}\times 3.14\times 9\times 4=37.68$（cm${}^3$）

    $50.24>37.68$

    答：体积最大是 $50.24$ cm${}^3$。

31. 解：分析：相遇时甲、乙路程比是 $4:5$，说明甲行了全程的 $\frac{4}{9}$，乙行了全程的 $\frac{5}{9}$。

    设 A、B 两地相距 $x$ km。

    相遇时乙行驶的路程 = $\frac{5}{9}x$

    相遇时甲行驶的路程 = $\frac{4}{9}x$

    相遇时两车行驶时间相同。

    甲的行驶时间 = $(\frac{4}{9}x)÷60=\frac{4x}{540}=\frac{x}{135}$（小时）

    这也是乙行驶 $\frac{5}{9}x$ 所用的时间。

    乙的速度 = $(\frac{5}{9}x)÷\frac{x}{135}=\frac{5}{9}x\times \frac{135}{x}=5\times 15=75$（km/h）

    又已知乙行完全程需 $6$ 小时，所以：

    A、B 距离 = $75\times 6=450$（km）

    另一种解法：

    甲、乙速度比 = 路程比 = $4:5$

    甲速 $=60$ km/h，所以乙速 $=60\times \frac{5}{4}=75$ km/h

    A、B 距离 = $75\times 6=450$（km）

    答：A、B 两地相距 $450$ 千米。

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附：易错知识点总结

1. 负数比较大小

• 负数 $<0<$ 正数
• 两个负数比较，绝对值大的反而小
• 例：$-7<-3$（不要误认为 $-7>-3$）

2. 折扣问题

• 几折 = 百分之几十
• 现价 = 原价 $\times$ 折扣，不是 原价 $÷$ 折扣
• 先涨 $20\mathrm{\%}$ 再降 $20\mathrm{\%}$，结果不是原价

3. 圆柱与圆锥（重点）

• 圆柱体积 = $\pi r^{2}h$，圆锥体积 = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• 等底等高时，$V_{\mathrm{圆}\mathrm{柱}}=3V_{\mathrm{圆}\mathrm{锥}}$
• 熔铸问题：体积不变是关键
• 表面积注意：无盖只有一个底面，通风管没有底面
• 切割问题：沿直径切开，增加两个长方形（长 = 高，宽 = 底面直径）

4. 比例（重点）

• 内项之积 = 外项之积（解比例的核心）
• 正比例：$\frac{y}{x}=k$（一定）；反比例：$x\times y=k$（一定）
• 比例尺 = 图上距离 : 实际距离（单位要统一）
• 面积比 = 边长比的平方

5. 鸽巢问题

• 至少数 = 商 + 1（有余数时）
• 考虑最不利原则