人教版小学五年级上册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

单元	内容	核心知识点
第一单元	小数乘法	小数乘整数、小数乘小数、积的近似数、乘法运算定律推广到小数、解决问题
第二单元	位置	用数对表示位置、在方格纸上用数对确定位置
第三单元	小数除法	除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律、解决问题
第四单元	可能性	事件的确定性与不确定性、可能性的大小、根据可能性进行推测
第五单元	简易方程	用字母表示数、方程的意义、等式的性质、解方程、实际问题与方程
第六单元	多边形的面积	平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积、解决问题
第七单元	数学广角——植树问题	两端都栽、两端都不栽、只栽一端、封闭图形上的植树问题

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二、各单元重要考点详解

第一单元：小数乘法

1. 小数乘整数

• 意义：与整数乘法相同，求几个相同加数和的简便运算
• 计算方法：先按整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点
• 注意：积的小数末尾有0时，要先点小数点，再去掉末尾的0

2. 小数乘小数

• 计算方法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点
• 积的小数位数 = 两个因数小数位数之和
• 规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；乘小于1的数，积比原来的数小

3. 积的近似数

• 用"四舍五入"法取积的近似数
• 精确到某一位时，要看下一位数字

4. 乘法运算定律推广

• 乘法交换律：$a\times b=b\times a$
• 乘法结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 乘法分配律：$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

5. 解决问题

• 估算解决实际问题：判断"够不够"问题
• 分段计费问题：如出租车费、水电费等

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第二单元：位置

1. 用数对表示位置

• 数对的写法：$(\mathrm{列},\mathrm{行})$，即$(\mathrm{横}\mathrm{坐}\mathrm{标},\mathrm{纵}\mathrm{坐}\mathrm{标})$
• 列从左往右数，行从下（前）往上（后）数
• 数对中第一个数表示列，第二个数表示行

2. 在方格纸上用数对确定位置

• 能在方格纸上根据数对找到对应点
• 能在方格纸上根据点的位置写出数对
• 理解平移后数对的变化规律

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第三单元：小数除法

1. 除数是整数的小数除法

• 按整数除法的方法去除
• 商的小数点要和被除数的小数点对齐
• 如果除到被除数末尾仍有余数，要在余数后面添0继续除
• 如果被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续

2. 一个数除以小数

• 先把除数变成整数（除数的小数点向右移动几位）
• 被除数的小数点也要向右移动相同的位数
• 然后按除数是整数的小数除法进行计算

3. 商的近似数

• 用"四舍五入"法取商的近似数
• 计算时要比需要保留的小数位数多除一位

4. 循环小数

• 循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现
• 循环节：依次不断重复出现的数字
• 有限小数与无限小数的区别

5. 用计算器探索规律

• 通过计算发现规律，运用规律进行推算

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第四单元：可能性

1. 事件的确定性与不确定性

• 确定事件：一定会发生（用"一定"描述）或一定不会发生（用"不可能"描述）
• 不确定事件：可能发生也可能不发生（用"可能"描述）

2. 可能性的大小

• 可能性的大小与数量有关，数量越多，可能性越大
• 可以通过实验来验证可能性的大小

3. 根据可能性进行推测

• 根据实验结果推测物体数量的多少
• 根据可能性大小做出合理判断

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第五单元：简易方程

1. 用字母表示数

• 用字母表示运算定律、计算公式
• 用字母表示数量关系
• 含有字母的式子的简写规则

2. 方程的意义

• 方程：含有未知数的等式
• 方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数

3. 等式的性质

• 等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等
• 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等

4. 解方程

• 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值
• 解方程：求方程的解的过程
• 检验：把未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等

5. 实际问题与方程

• 列方程解应用题的步骤：设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验作答
• 常见题型：和差倍问题、行程问题、工程问题等

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第六单元：多边形的面积

1. 平行四边形的面积

• 公式：$S=a\times h$（底 $\times$ 高）
• 推导方法：割补法，将平行四边形转化为长方形

2. 三角形的面积

• 公式：$S=a\times h÷2$（底 $\times$ 高 $÷$ 2）
• 推导方法：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形
• 等底等高的三角形面积相等

3. 梯形的面积

• 公式：$S=(a+b)\times h÷2$（上底 $+$ 下底）$\times$ 高 $÷$ 2
• 推导方法：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形

4. 组合图形的面积

• 分割法：将组合图形分割成几个简单图形
• 添补法：将组合图形添补成一个简单图形

5. 解决问题

• 不规则图形面积的估算：数方格法
• 实际问题中的面积计算

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第七单元：数学广角——植树问题

1. 两端都栽

• 棵数 $=$ 间隔数 $+1$
• 间隔数 $=$ 总距离 $÷$ 间距

2. 两端都不栽

• 棵数 $=$ 间隔数 $-1$

3. 只栽一端（或封闭图形）

• 棵数 $=$ 间隔数

4. 实际应用

• 锯木头、爬楼梯、敲钟等问题都可以转化为植树问题
• 关键是找准"棵数"与"间隔数"的关系

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三、常见题型与例题

第一单元：小数乘法

例题1（基础）

计算：$3.25\times 4=$

解答： 先按整数乘法计算：$325\times 4=1300$ 因数$3.25$有两位小数，从积的右边起数出两位点上小数点：$13.00$ 去掉末尾的0，得：$3.25\times 4=13$

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例题2（基础）

计算：$0.48\times 0.25=$

解答： 先按整数乘法计算：$48\times 25=1200$ 因数$0.48$有两位小数，因数$0.25$有两位小数，共四位小数。 从积的右边起数出四位点上小数点：$0.1200$ 去掉末尾的0，得：$0.48\times 0.25=0.12$

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例题3（提高）

用简便方法计算：$2.5\times 3.6\times 4$

解答： 利用乘法交换律和结合律：

$$2.5\times 3.6\times 4=2.5\times 4\times 3.6=10\times 3.6=36$$

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例题4（提高）

用简便方法计算：$7.8\times 9.9+0.78$

解答： 观察发现 $0.78=7.8\times 0.1$，利用乘法分配律：

$$7.8\times 9.9+0.78=7.8\times 9.9+7.8\times 0.1=7.8\times (9.9+0.1)=7.8\times 10=78$$

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例题5（提高）

用简便方法计算：$1.25\times 3.2\times 2.5$

解答： 将$3.2$拆分为$0.8\times 4$，再利用乘法结合律：

$$1.25\times 3.2\times 2.5=1.25\times 0.8\times 4\times 2.5=(1.25\times 0.8)\times (4\times 2.5)=1\times 10=10$$

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例题6（拓展）

某市出租车收费标准：3千米以内（含3千米）收费10元；超过3千米的部分，每千米收费2.5元（不足1千米按1千米计算）。小明乘车行了8.3千米，应付多少钱？

解答：$8.3$千米按9千米计算。 超出部分：$9-3=6$（千米） 超出费用：$6\times 2.5=15$（元） 总费用：$10+15=25$（元）

答：应付25元。

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例题7（拓展）

一块长方形菜地，长是$12.5$米，宽是$8.8$米。 （1）这块菜地的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米可收蔬菜$3.6$千克，这块地一共可收蔬菜多少千克？

解答： （1）面积：$12.5\times 8.8=110$（平方米）

（2）蔬菜总产量：$110\times 3.6=396$（千克）

答：这块菜地的面积是110平方米，一共可收蔬菜396千克。

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第二单元：位置

例题1（基础）

在教室里，小明坐在第3列、第4行，用数对表示他的位置。

解答： 数对中第一个数表示列，第二个数表示行。 小明的位置用数对表示为：$(3,4)$

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例题2（基础）

点$A$的位置用数对表示是$(5,7)$，点$B$在点$A$的正后方第3行，用数对表示点$B$的位置。

解答： 正后方意味着列不变，行增加3。 点$B$的行数：$7+3=10$ 点$B$的位置用数对表示为：$(5,10)$

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例题3（提高）

三角形三个顶点的位置分别是$A(2,3)$、$B(6,3)$、$C(4,7)$，求三角形的面积。

解答： 在方格纸上标出三点，$AB$两点在同一行（第3行），$AB$的长度为：$6-2=4$ 以$AB$为底，高为点$C$到$AB$的垂直距离：$7-3=4$ 三角形面积：$4\times 4÷2=8$

答：三角形的面积是8个面积单位。

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例题4（提高）

点$P$的位置是$(4,5)$，将点$P$先向右平移3格，再向下平移2格，求平移后点$P^{\prime }$的位置。

解答： 向右平移3格，列增加3：$4+3=7$ 向下平移2格，行减少2：$5-2=3$ 点$P^{\prime }$的位置是$(7,3)$

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例题5（拓展）

在方格纸上，$A(1,1)$、$B(5,1)$、$C(5,4)$、$D(1,4)$四个点依次连接，形成一个什么图形？它的面积是多少？

解答： 画出图形可知，$AB$水平长$5-1=4$，$BC$垂直长$4-1=3$，$CD$水平长4，$DA$垂直长3。 四个角都是直角，对边相等，所以这是一个长方形。 面积：$4\times 3=12$

答：这是一个长方形，面积是12个面积单位。

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第三单元：小数除法

例题1（基础）

计算：$9.12÷3.8=$

解答： 把除数$3.8$变成整数，小数点向右移1位变成$38$ 被除数的小数点也向右移1位，变成$91.2$ 计算：$91.2÷38=2.4$

所以$9.12÷3.8=2.4$

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例题2（基础）

计算：$7.83÷9=$

解答：$7÷9$不够商1，商0，点上小数点 $78÷9=8$余$6$$63÷9=7$ 所以$7.83÷9=0.87$

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例题3（提高）

一辆汽车2.5小时行驶了180千米，平均每小时行驶多少千米？

解答： 速度 $=$ 路程 $÷$ 时间

$$180÷2.5=1800÷25=72$$

答：平均每小时行驶72千米。

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例题4（提高）

把$0.\dot{7}$、$2.4141\cdots$、$5.2\dot{1}\dot{8}$这三个循环小数用简便写法表示出来，并写出各自的循环节。

解答：$0.\dot{7}$：循环节是$7$，表示$0.7777\cdots$$2.4141\cdots$：循环节是$41$，简便写法为$2.\dot{4}\dot{1}$$5.2\dot{1}\dot{8}$：循环节是$18$，表示$5.2181818\cdots$

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例题5（提高）

妈妈买$3.5$千克苹果花了$24.5$元，买$2.8$千克香蕉花了$15.68$元。苹果和香蕉哪种水果更贵？每千克贵多少元？

解答： 苹果单价：$24.5÷3.5=7$（元/千克） 香蕉单价：$15.68÷2.8=5.6$（元/千克） $7>5.6$，所以苹果更贵。 贵的金额：$7-5.6=1.4$（元）

答：苹果更贵，每千克贵1.4元。

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例题6（拓展）

一个数除以$0.8$的商是一个两位小数，保留一位小数约是$3.5$。这个数最大是多少？最小是多少？

解答： 商保留一位小数约是$3.5$，则商的取值范围是$3.45⩽\mathrm{商}<3.55$ 商最大为$3.54$，最小为$3.45$

被除数 $=$ 商 $\times$ 除数 最大：$3.54\times 0.8=2.832$ 最小：$3.45\times 0.8=2.76$

答：这个数最大是$2.832$，最小是$2.76$。

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例题7（拓展）

$100$千克花生可以榨油$42$千克，照这样计算： （1）每千克花生可以榨油多少千克？ （2）榨$1$千克油需要多少千克花生？（结果保留两位小数）

解答： （1）$42÷100=0.42$（千克）

（2）$100÷42\approx 2.38$（千克）

答：（1）每千克花生可以榨油$0.42$千克；（2）榨$1$千克油约需$2.38$千克花生。

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第四单元：可能性

例题1（基础）

盒子里有6个红球、3个黄球和1个白球，任意摸一个球，摸到什么球的可能性最大？摸到什么球的可能性最小？

解答： 红球数量最多（6个），摸到红球的可能性最大。 白球数量最少（1个），摸到白球的可能性最小。

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例题2（基础）

判断：连续抛硬币10次，一定有5次正面朝上。（ ）

解答： 这个说法是错误的。每次抛硬币正面朝上和反面朝上的可能性虽然相等，但连续抛10次是随机事件，不一定恰好5次正面朝上，可能多于5次，也可能少于5次。

答案：$\times$

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例题3（提高）

袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个。小明摸了30次，摸到红球18次，黄球9次，蓝球3次。根据摸球结果，推测袋子里哪种颜色的球可能最多？哪种最少？

解答： 根据摸球结果推测，摸到次数越多的颜色，该颜色的球数量可能越多。 红球摸到18次，次数最多，推测红球可能最多。 蓝球摸到3次，次数最少，推测蓝球可能最少。

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例题4（提高）

一个正方体，六个面分别写上1、2、2、3、3、3。抛出这个正方体，朝上的面有几种可能？各是什么？出现哪种数字的可能性最大？

解答： 朝上的面有3种可能：1、2或3。 1有1个面，概率为$1/6$ 2有2个面，概率为$2/6=1/3$ 3有3个面，概率为$3/6=1/2$ 所以出现3的可能性最大。

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例题5（拓展）

袋中有5个红球和一些白球，小明任意摸一个球，摸到红球的可能性是$\frac{1}{3}$，袋中有多少个白球？

解答： 设球的总数为$x$个。

$$\frac{5}{x}=\frac{1}{3}$$

解得$x=15$ 白球数量：$15-5=10$（个）

答：袋中有10个白球。

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第五单元：简易方程

例题1（基础）

解方程：$3x+12=45$

解答：

$$3x+12=45$$$$3x=45-12\text{（等式两边同时减去12）}$$$$3x=33$$$$x=11\text{（等式两边同时除以3）}$$

检验：左边 $=3\times 11+12=33+12=45=$ 右边 所以$x=11$是方程的解。

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例题2（基础）

解方程：$5(x-3)=40$

解答：

$$5(x-3)=40$$$$x-3=8\text{（等式两边同时除以5）}$$$$x=11\text{（等式两边同时加上3）}$$

检验：左边 $=5\times (11-3)=5\times 8=40=$ 右边 所以$x=11$是方程的解。

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例题3（提高）

解方程：$2.8x-1.5x=7.8$

解答：

$$2.8x-1.5x=7.8$$$$(2.8-1.5)x=7.8$$$$1.3x=7.8$$$$x=6$$

检验：左边 $=2.8\times 6-1.5\times 6=16.8-9=7.8=$ 右边 所以$x=6$是方程的解。

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例题4（提高）

一个数的5倍减去8等于这个数的3倍加上10，求这个数。

解答： 设这个数为$x$。

$$5x-8=3x+10$$$$5x-3x=10+8$$$$2x=18$$$$x=9$$

检验：左边 $=5\times 9-8=45-8=37$，右边 $=3\times 9+10=27+10=37$ 两边相等。

答：这个数是9。

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例题5（提高）

学校图书馆买来故事书和科技书共280本，其中故事书的本数是科技书的4倍。买来故事书和科技书各多少本？

解答： 设科技书有$x$本，则故事书有$4x$本。

$$x+4x=280$$$$5x=280$$$$x=56$$

故事书：$4\times 56=224$（本）

答：买来科技书56本，故事书224本。

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例题6（拓展）

甲、乙两数的和是$52.8$，如果把甲数的小数点向右移动一位就等于乙数。甲、乙两数各是多少？

解答： "小数点向右移动一位"意味着扩大到原来的10倍，即乙数是甲数的10倍。 设甲数为$x$，则乙数为$10x$。

$$x+10x=52.8$$$$11x=52.8$$$$x=4.8$$

乙数：$10\times 4.8=48$

答：甲数是$4.8$，乙数是$48$。

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例题7（拓展）

小明和小红同时从两地相向而行，小明每分钟走$65$米，小红每分钟走$55$米，经过$8$分钟两人相遇。两地相距多少米？（用方程解）

解答： 设两地相距$x$米。 两人相向而行，$8$分钟相遇，两人$8$分钟走的路程之和等于两地距离。

$$x=(65+55)\times 8$$$$x=120\times 8$$$$x=960$$

答：两地相距$960$米。

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例题8（拓展）

一个长方形的周长是$48$厘米，长是宽的$3$倍。这个长方形的面积是多少平方厘米？

解答： 设宽为$x$厘米，则长为$3x$厘米。 周长公式：$2\times (\mathrm{长}+\mathrm{宽})=48$

$$2(x+3x)=48$$$$2\times 4x=48$$$$8x=48$$$$x=6$$

长：$3\times 6=18$（厘米） 面积：$18\times 6=108$（平方厘米）

答：这个长方形的面积是$108$平方厘米。

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第六单元：多边形的面积

例题1（基础）

一个平行四边形的底是$12$厘米，高是$8$厘米，求它的面积。

解答：

$$S=a\times h=12\times 8=96\text{（平方厘米）}$$

答：平行四边形的面积是$96$平方厘米。

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例题2（基础）

一个三角形的面积是$45$平方分米，底是$15$分米，求高。

解答： 由$S=a\times h÷2$得：

$$h=2S÷a=2\times 45÷15=90÷15=6\text{（分米）}$$

答：高是$6$分米。

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例题3（提高）

一块梯形的果园，上底是$60$米，下底是$100$米，高是$50$米。这个果园的面积是多少公顷？

解答：

$$S=(a+b)\times h÷2=(60+100)\times 50÷2=160\times 50÷2=4000\text{（平方米）}$$$$4000\text{平方米}=0.4\text{公顷}$$

答：这个果园的面积是$0.4$公顷。

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例题4（提高）

一个平行四边形和一个三角形面积相等，底也相等。平行四边形的高是$6$厘米，三角形的高是多少厘米？

解答： 设它们的底都为$a$。 平行四边形面积：$S_{\mathrm{平}}=a\times 6$ 三角形面积：$S_{\mathrm{三}}=a\times h÷2$ 因为面积相等：

$$a\times h÷2=a\times 6$$$$h÷2=6$$$$h=12\text{（厘米）}$$

答：三角形的高是$12$厘米。

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例题5（提高）

求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）

如图：一个长方形长$20$厘米、宽$12$厘米，里面有一个空白梯形，上底$8$厘米、下底$14$厘米、高$12$厘米。

解答： 长方形面积：$20\times 12=240$（平方厘米） 梯形面积：$(8+14)\times 12÷2=22\times 12÷2=132$（平方厘米） 阴影面积：$240-132=108$（平方厘米）

答：阴影部分的面积是$108$平方厘米。

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例题6（拓展）

一个三角形的底增加$4$厘米，高不变，面积就增加$16$平方厘米；如果高增加$3$厘米，底不变，面积就增加$12$平方厘米。原来三角形的面积是多少？

解答： 设原来的底为$a$厘米，高为$h$厘米。 底增加$4$厘米，面积增加$16$平方厘米：

$$(a+4)\times h÷2-a\times h÷2=16$$$$4h÷2=16$$$$2h=16$$$$h=8\text{（厘米）}$$

高增加$3$厘米，面积增加$12$平方厘米：

$$a\times (h+3)÷2-a\times h÷2=12$$$$3a÷2=12$$$$a=8\text{（厘米）}$$

原三角形面积：$8\times 8÷2=32$（平方厘米）

答：原来三角形的面积是$32$平方厘米。

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第七单元：数学广角——植树问题

例题1（基础）

在一条长$120$米的小路一旁种树，每隔$6$米种一棵，两端都种，一共要种多少棵树？

解答： 间隔数：$120÷6=20$（个） 棵数 $=$ 间隔数 $+1=20+1=21$（棵）

答：一共要种$21$棵树。

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例题2（基础）

两栋教学楼之间相距$60$米，在两楼之间的小路一旁每隔$5$米放一盆花（两端不放），一共要放多少盆花？

解答： 间隔数：$60÷5=12$（个） 两端不放，棵数 $=$ 间隔数 $-1=12-1=11$（盆）

答：一共要放$11$盆花。

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例题3（提高）

一个圆形花坛的周长是$80$米，每隔$4$米种一棵冬青树，一共可以种多少棵？

解答： 圆形属于封闭图形，棵数 $=$ 间隔数 间隔数：$80÷4=20$（个） 棵数：$20$棵

答：一共可以种$20$棵冬青树。

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例题4（提高）

一根木头长$18$米，把它锯成$3$米长的小段，需要锯几次？

解答： 段数：$18÷3=6$（段） 锯的次数 $=$ 段数 $-1=6-1=5$（次）

答：需要锯$5$次。

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例题5（拓展）

小红从一楼走到六楼用了$100$秒，照这样的速度，她从一楼走到十二楼需要多少秒？

解答： 从一楼走到六楼，走了$6-1=5$（层） 每层用时：$100÷5=20$（秒） 从一楼走到十二楼，走$12-1=11$（层） 总时间：$11\times 20=220$（秒）

答：需要$220$秒。

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例题6（拓展）

时钟敲$5$下用了$8$秒，敲$10$下需要多少秒？

解答： 敲$5$下，间隔数是$5-1=4$（个） 每个间隔用时：$8÷4=2$（秒） 敲$10$下，间隔数是$10-1=9$（个） 总时间：$9\times 2=18$（秒）

答：敲$10$下需要$18$秒。

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四、期末综合复习题

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 与$3.2\times 1.05$的结果相等的是（ ）

A. $32\times 1.05$ B. $32\times 0.105$ C. $0.32\times 10.5$ D. $320\times 0.0105$

2. $a\times 0.98=b÷0.98$（$a$、$b$均不为0），则（ ）

A. $a>b$ B. $a<b$ C. $a=b$ D. 无法确定

3. 用数对表示位置时，$(4,6)$和$(6,4)$表示的位置（ ）

A. 在同一列 B. 在同一行 C. 完全不同 D. 无法确定

4. 下列式子中，（ ）是方程。

A. $3x+8$ B. $5\times 6=30$ C. $2x-7=13$ D. $x+5>10$

5. 一个三角形与一个平行四边形面积相等，底也相等。平行四边形的高是$8$厘米，三角形的高是（ ）厘米。

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

6. $5.296$保留两位小数约是（ ）

A. 5.29 B. 5.30 C. 5.296 D. 5.3

7. 袋中有$8$个白球和$3$个黑球，任意摸一个，摸到（ ）

A. 白球的可能性大 B. 黑球的可能性大 C. 一定摸到白球 D. 两种球可能性一样

8. 在一条长$200$米的公路一旁植树（两端都植），每隔$5$米植一棵，一共植（ ）棵。

A. 39 B. 40 C. 41 D. 42

9. 下列计算结果最大的是（ ）

A. $3.6÷0.9$ B. $3.6\times 0.9$ C. $3.6÷1.01$ D. $3.6\times 1.01$

10. 一个梯形上底增加$4$厘米，下底减少$4$厘米，高不变，面积（ ）

A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 无法确定

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二、填空题（每题2分，共20分）

1. $4.05\times 2.3$的积有____位小数；$7.8÷0.13$的商的最高位在____位。

2. $2.5$小时 $=$ ____分；$3.06$吨 $=$ ____千克。

3. 如果$3x+5=20$，那么$6x-7=$____。

4. 一个两位小数，保留一位小数约是$5.7$，这个两位小数最大是____，最小是____。

5. 在教室里，小华坐在第$4$列第$5$行，用数对表示是____；小明坐在他正后方的第$3$个位置，用数对表示是____。

6. 一个三角形的面积是$24$平方厘米，底是$8$厘米，高是____厘米。

7. $0.6\dot{3}$保留两位小数约是____；$2.\dot{4}\dot{5}$的循环节是____。

8. 一个平行四边形和一个三角形等底等高，它们的面积相差$18$平方厘米，平行四边形的面积是____平方厘米。

9. 把$0.31$、$0.3\dot{1}$、$0.\dot{3}\dot{1}$、$0.313$按从大到小的顺序排列：____。

10. 一个正方形的周长是$24$厘米，把它拉成一个平行四边形后，周长____，面积____。（填"变大""变小"或"不变"）

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三、计算题（共32分）

1. 直接写出得数（8分）

$0.25\times 4=$____

$1.25\times 8=$____

$3.6÷0.6=$____

$0.72÷0.9=$____

$0.5\times 1.2=$____

$8.4÷4=$____

$2.4\times 0.5=$____

$4.8÷0.16=$____

2. 竖式计算（8分）

（1）$5.08\times 2.6=$

（2）$78.6÷1.2=$

（3）$0.37\times 4.5\approx$（保留两位小数）

（4）$25.3÷0.7=$（用循环小数表示）

3. 用简便方法计算（8分）

（1）$1.25\times 0.25\times 32$

（2）$3.8\times 7.5+6.2\times 7.5$

（3）$9.9\times 8.6+0.86$

（4）$102\times 4.7$

4. 解方程（8分）

（1）$4x+15=63$

（2）$7(x-4)=49$

（3）$3.6x-1.2x=24$

（4）$5x+3\times 8=54$

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四、解决问题（共18分）

1. 小明买了$2.5$千克苹果和$3$千克香蕉，一共花了$37.5$元。已知苹果每千克$9$元，香蕉每千克多少元？（用方程解）（3分）

2. 一块梯形麦田，上底是$45$米，下底是$75$米，高是$60$米。如果每平方米收小麦$0.8$千克，这块地一共可以收小麦多少千克？（3分）

3. 甲、乙两地相距$360$千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前$3$小时平均每小时行$65$千米，剩下的路程要在$3$小时内行完，平均每小时至少行多少千米？（4分）

4. 学校图书馆有故事书和科技书共$420$本，故事书的本数是科技书的$2.5$倍。两种书各有多少本？（用方程解）（4分）

5. 某市水费收费标准：每户每月用水$15$吨以内（含$15$吨），每吨$2.8$元；超过$15$吨的部分，每吨$4$元。小明家上月用水$22$吨，应交水费多少元？（4分）

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五、拓展提高题（共10分）

1. 计算：$0.\dot{1}+0.\dot{2}+0.\dot{3}+\cdots +0.\dot{9}$（3分）

2. 如图，一个大正方形内有一个小正方形，大正方形的边长是$12$厘米，小正方形的边长是$8$厘米。求阴影部分（两个正方形之间的部分）的面积。（3分）

3. 甲、乙、丙三个数的和是$180$，甲数是乙数的$2$倍，乙数是丙数的$3$倍。甲、乙、丙三个数各是多少？（4分）

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五、参考答案与解析

一、选择题答案与解析

1. 答案：C

解析：根据积不变规律，一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。$3.2\times 1.05=0.32\times 10.5$（$3.2$缩小10倍，$1.05$扩大10倍）。A选项积扩大10倍，B选项$32\times 0.105=3.36$，D选项$320\times 0.0105=3.36$，都不等于$3.2\times 1.05=3.36$。C选项$0.32\times 10.5=3.36$，与原式相等。

2. 答案：A

解析：$a\times 0.98$表示$a$乘一个小于1的数，结果比$a$小，即$a\times 0.98<a$。$b÷0.98$表示$b$除以一个小于1的数，结果比$b$大，即$b÷0.98>b$。因为$a\times 0.98=b÷0.98$，设结果为$c$，则$c<a$且$c>b$，所以$a>b$。

3. 答案：C

解析：数对$(4,6)$表示第4列第6行，数对$(6,4)$表示第6列第4行，列不同，行也不同，所以位置完全不同。

4. 答案：C

解析：方程必须同时满足两个条件：是等式（含有等号）且含有未知数。A不是等式，B不含未知数，D不是等式（是不等式），只有C同时满足两个条件。

5. 答案：C

解析：三角形与平行四边形面积相等、底相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。$8\times 2=16$（厘米）。

6. 答案：B

解析：$5.296$保留两位小数，看第三位小数是$6$，$6>5$，向前一位进1，所以$5.296\approx 5.30$。

7. 答案：A

解析：白球$8$个，黑球$3$个，白球数量多于黑球，所以摸到白球的可能性大。

8. 答案：C

解析：两端都植，棵数 $=$ 间隔数 $+1$。间隔数：$200÷5=40$（个），棵数：$40+1=41$（棵）。

9. 答案：A

解析：A：$3.6÷0.9=4$；B：$3.6\times 0.9=3.24$；C：$3.6÷1.01\approx 3.56$；D：$3.6\times 1.01=3.636$。比较得A最大。

10. 答案：C

解析：梯形面积公式$S=(a+b)\times h÷2$。上底增加4，下底减少4，上底加下底的和不变，高也不变，所以面积不变。

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二、填空题答案与解析

1. 答案：三；百

解析：$4.05$有两位小数，$2.3$有一位小数，积有$2+1=3$位小数。$7.8÷0.13=780÷13=60$，商是$60$，最高位在百位。

2. 答案：150；3060

解析：$2.5\times 60=150$（分）；$3.06\times 1000=3060$（千克）。

3. 答案：23

解析：$3x+5=20$，$3x=15$，$x=5$。代入$6x-7=6\times 5-7=30-7=23$。

4. 答案：5.74；5.65

解析：保留一位小数约是$5.7$，用"四舍"时最大为$5.74$，用"五入"时最小为$5.65$。

5. 答案：$(4,5)$；$(4,8)$

解析：正后方意味着列不变（仍为4），行增加3：$5+3=8$。

6. 答案：6

解析：$h=2S÷a=2\times 24÷8=48÷8=6$（厘米）。

7. 答案：0.64；45

解析：$0.6\dot{3}=0.6333\cdots$，第三位小数是3，保留两位小数约是$0.63$。注意：$0.6\dot{3}=0.6333...$，保留两位小数看第三位是3，四舍五入为$0.63$。更正：$0.6\dot{3}\approx 0.63$。$2.\dot{4}\dot{5}$的循环节是$45$。

8. 答案：36

解析：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。设三角形面积为$S$，则平行四边形面积为$2S$。$2S-S=18$，$S=18$，平行四边形面积$=2\times 18=36$（平方厘米）。

9. 答案：$0.\dot{3}\dot{1}>0.313>0.3\dot{1}>0.31$

解析：$0.\dot{3}\dot{1}=0.313131\cdots$，$0.3\dot{1}=0.311111\cdots$。比较小数部分：$0.3131...>0.313>0.3111...>0.3100...$。

10. 答案：不变；变小

解析：拉成平行四边形后，四条边长度不变，所以周长不变。但平行四边形的高小于原正方形的边长，所以面积变小。

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三、计算题答案与解析

1. 直接写出得数

题目	答案	题目	答案
$0.25\times 4$	$1$	$1.25\times 8$	$10$
$3.6÷0.6$	$6$	$0.72÷0.9$	$0.8$
$0.5\times 1.2$	$0.6$	$8.4÷4$	$2.1$
$2.4\times 0.5$	$1.2$	$4.8÷0.16$	$30$

2. 竖式计算

（1）$5.08\times 2.6=13.208$

（2）$78.6÷1.2=65.5$

（3）$0.37\times 4.5\approx 1.67$

解析：$0.37\times 4.5=1.665$，第三位小数是$5$，向前进1，$1.665\approx 1.67$。

（4）$25.3÷0.7=36.\dot{1}4285\dot{7}$

解析：$25.3÷0.7=253÷7=36.142857142857\cdots$，循环节是$142857$。

3. 用简便方法计算

（1）$1.25\times 0.25\times 32$

$=1.25\times 0.25\times 8\times 4$

$=(1.25\times 8)\times (0.25\times 4)$

$=10\times 1$

$=10$

（2）$3.8\times 7.5+6.2\times 7.5$

$=(3.8+6.2)\times 7.5$

$=10\times 7.5$

$=75$

（3）$9.9\times 8.6+0.86$

$=9.9\times 8.6+0.1\times 8.6$

$=(9.9+0.1)\times 8.6$

$=10\times 8.6$

$=86$

（4）$102\times 4.7$

$=(100+2)\times 4.7$

$=100\times 4.7+2\times 4.7$

$=470+9.4$

$=479.4$

4. 解方程

（1）$4x+15=63$

解：$4x=63-15$

$4x=48$

$x=12$

检验：$4\times 12+15=48+15=63$ ✓

（2）$7(x-4)=49$

解：$x-4=7$

$x=11$

检验：$7\times (11-4)=7\times 7=49$ ✓

（3）$3.6x-1.2x=24$

解：$2.4x=24$

$x=10$

检验：$3.6\times 10-1.2\times 10=36-12=24$ ✓

（4）$5x+3\times 8=54$

解：$5x+24=54$

$5x=30$

$x=6$

检验：$5\times 6+3\times 8=30+24=54$ ✓

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四、解决问题答案与解析

1. 解：设香蕉每千克$x$元。

$2.5\times 9+3x=37.5$

$22.5+3x=37.5$

$3x=15$

$x=5$

答：香蕉每千克$5$元。

2. 梯形面积：$(45+75)\times 60÷2=120\times 60÷2=3600$（平方米）

收小麦：$3600\times 0.8=2880$（千克）

答：这块地一共可以收小麦$2880$千克。

3. 已行路程：$65\times 3=195$（千米）

剩余路程：$360-195=165$（千米）

速度：$165÷3=55$（千米/时）

答：平均每小时至少行$55$千米。

4. 解：设科技书有$x$本，则故事书有$2.5x$本。

$x+2.5x=420$

$3.5x=420$

$x=120$

故事书：$2.5\times 120=300$（本）

答：科技书有$120$本，故事书有$300$本。

5. $15$吨以内费用：$15\times 2.8=42$（元）

超出部分：$22-15=7$（吨）

超出费用：$7\times 4=28$（元）

总费用：$42+28=70$（元）

答：应交水费$70$元。

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五、拓展提高题答案与详解

1. 计算：$0.\dot{1}+0.\dot{2}+0.\dot{3}+\cdots +0.\dot{9}$

解：

先将各循环小数化为分数：

$0.\dot{1}=\frac{1}{9}$，$0.\dot{2}=\frac{2}{9}$，$0.\dot{3}=\frac{3}{9}$，$\cdots$，$0.\dot{9}=\frac{9}{9}=1$

原式 $=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9}+\cdots +\frac{9}{9}$

$=\frac{1+2+3+\cdots +9}{9}$

$=\frac{45}{9}$

$=5$

答：原式的值为$5$。

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2. 解：

阴影部分面积 $=$ 大正方形面积 $-$ 小正方形面积

$=12\times 12-8\times 8$

$=144-64$

$=80$（平方厘米）

答：阴影部分的面积是$80$平方厘米。

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3. 解：设丙数为$x$，则乙数为$3x$，甲数为$2\times 3x=6x$。

$x+3x+6x=180$

$10x=180$

$x=18$

乙数：$3\times 18=54$

甲数：$6\times 18=108$

检验：$108+54+18=180$ ✓，$108÷54=2$ ✓，$54÷18=3$ ✓

答：甲数是$108$，乙数是$54$，丙数是$18$。

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附录：常用公式汇总

小数运算

• 小数乘整数：先按整数乘法算，再点小数点
• 小数乘小数：因数小数位数之和 = 积的小数位数
• 除数是小数：先把除数变成整数，被除数也扩大相同倍数

运算定律

• 交换律：$a+b=b+a$，$a\times b=b\times a$
• 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 分配律：$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

面积公式

• 平行四边形：$S=a\times h$
• 三角形：$S=a\times h÷2$
• 梯形：$S=(a+b)\times h÷2$

植树问题

• 两端都栽：棵数 $=$ 间隔数 $+1$
• 两端不栽：棵数 $=$ 间隔数 $-1$
• 只栽一端（封闭图形）：棵数 $=$ 间隔数

解方程依据

• 等式性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立
• 等式性质2：两边同乘（除以非零）同一个数，等式仍成立