人教版小学二年级下册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

单元	内容	核心知识点
第一单元	数据收集整理	用简单的方法收集和整理数据；认识简单的统计表；根据数据提出并回答简单问题
第二单元	表内除法（一）	平均分；除法的含义；用2~6的乘法口诀求商；解决简单的除法问题
第三单元	图形的运动（一）	轴对称图形；平移现象；旋转现象；辨认生活中的对称、平移和旋转
第四单元	表内除法（二）	用7~9的乘法口诀求商；解决稍复杂的除法实际问题
第五单元	混合运算	没有括号的同级运算；没有括号的两级运算；带括号的混合运算；列综合算式解决问题
第六单元	有余数的除法	有余数除法的认识；余数与除数的关系；有余数除法的计算；解决实际问题
第七单元	万以内数的认识	1000以内数的认识；10000以内数的认识；万以内数的大小比较；近似数；整百整千数加减法
第八单元	克和千克	认识质量单位克和千克；建立1克和1千克的质量观念；单位换算；简单的计算
第九单元	数学广角——推理	简单的逻辑推理；用排除法、假设法进行推理；在方格中填数（数独启蒙）

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二、各单元重要考点详解

第一单元 数据收集整理

考点1：数据的收集方法

• 通过举手、投票、画"正"字等方式收集数据
• 画"正"字法是常用的统计数据方法，一个"正"字代表5

考点2：简单的统计表

• 将收集的数据填入表格中
• 能根据统计表中的数据回答问题
• 能根据数据提出简单的数学问题

考点3：数据分析

• 会找出最多、最少的数据
• 会比较两个数据相差多少
• 会根据数据做出简单的判断和预测

第二单元 表内除法（一）

考点1：平均分

• 把一些物品分成若干份，每份分得同样多，叫平均分
• 平均分的方法：按份数分或按每份的个数分

考点2：除法的含义

• 除法算式：$a÷b=c$，读作"a除以b等于c"
• $a$ 是被除数，$b$ 是除数，$c$ 是商
• 除法表示：把$a$平均分成$b$份，每份是$c$；或$a$里面有$c$个$b$

考点3：用乘法口诀求商

• 想：除数 $\times$ ( ) $=$ 被除数
• 熟练运用2~6的乘法口诀求商

第三单元 图形的运动（一）

考点1：轴对称图形

• 对折后能够完全重合的图形是轴对称图形
• 折痕所在的直线叫对称轴
• 常见轴对称图形：长方形、正方形、圆、等腰三角形等

考点2：平移

• 物体沿直线运动，方向和大小都不改变
• 平移后图形的形状、大小、方向都不变，只是位置变了

考点3：旋转

• 物体绕着一个点或轴做圆周运动
• 旋转后图形的形状、大小不变，方向和位置变了

第四单元 表内除法（二）

考点1：用7~9的乘法口诀求商

• 熟练背诵并运用7、8、9的乘法口诀
• 掌握"想乘算除"的方法

考点2：解决问题

• 求一个数里面有几个几
• 把一个数平均分成几份，求每份是多少
• 总价 $÷$ 单价 $=$ 数量，总价 $÷$ 数量 $=$ 单价

第五单元 混合运算

考点1：同级运算

• 只有加减法或只有乘除法，按从左到右的顺序计算

考点2：两级运算

• 既有乘除法又有加减法，先算乘除法，后算加减法

考点3：带括号的运算

• 有小括号的，先算小括号里面的
• 括号可以改变运算顺序

考点4：列综合算式

• 会根据分步算式列综合算式
• 注意添加括号改变运算顺序

第六单元 有余数的除法

考点1：认识余数

• 平均分后有剩余，剩余的数叫余数
• 有余数的除法算式：$a÷b=c\cdots \cdots d$
• 余数一定要比除数小（$d<b$）

考点2：有余数除法的计算

• 试商方法：想除数乘几最接近被除数且不超过被除数
• 验算方法：商 $\times$ 除数 $+$ 余数 $=$ 被除数

考点3：解决问题

• "进一法"：如租车、租船问题，有余数时商要加1
• "去尾法"：如购物问题，有余数时商不变
• 找规律问题（周期问题）

第七单元 万以内数的认识

考点1：数的组成

• 10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万
• 万以内的数是由几个千、几个百、几个十和几个一组成的

考点2：读数写数

• 读数：从高位读起，中间有一个0或两个0，只读一个"零"；末尾不管有几个0，都不读
• 写数：从高位写起，哪一位上一个也没有，就写0占位

考点3：数的大小比较

• 位数多的数大
• 位数相同，从最高位比起，最高位相同比下一位

考点4：近似数

• 一个数接近哪个整十、整百、整千数，就说它约是多少

考点5：整百整千数加减法

• 把整百、整千数看成几个百、几个千，再相加减
• 也可以先算$0$前面的数，再在得数末尾添上相同个数的$0$

第八单元 克和千克

考点1：认识质量单位

• 克（g）：计量较轻物品的质量
• 千克（kg）：计量较重物品的质量
• $1$ 千克 $=1000$ 克

考点2：建立质量观念

• 1枚2分硬币约重1克
• 2袋盐约重1千克

考点3：单位换算与计算

• 大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率
• 不同单位的要先统一单位再计算

第九单元 数学广角——推理

考点1：简单的逻辑推理

• 根据已知条件，通过分析、判断得出结论
• 常用方法：排除法、假设法、连线法、列表法

考点2：在方格中填数

• 每行、每列的数都不重复
• 先看哪一行或哪一列已经填了两个数，再推断第三个数

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三、常见题型与例题

第一单元 数据收集整理

【例题1 基础】 二（1）班同学最喜欢吃的水果情况如下，请完成统计表。

水果	苹果	香蕉	西瓜	桃子
人数	12	8	15	5

（1）一共调查了多少名同学？ （2）最喜欢吃（ ）的人数最多，最喜欢吃（ ）的人数最少。 （3）最喜欢吃西瓜的比最喜欢吃香蕉的多多少人？

解答： （1）$12+8+15+5=40$（名） 答：一共调查了40名同学。

（2）最喜欢吃西瓜的人数最多，最喜欢吃桃子的人数最少。

（3）$15-8=7$（人） 答：最喜欢吃西瓜的比最喜欢吃香蕉的多7人。

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【例题2 基础】 下面是小明用画"正"字的方法记录的同学们最喜欢的体育活动情况。

活动	跳绳	跑步	踢毽子	打篮球
记录	正正正	正正	正正丅	正一

请把记录结果填在表格中，并回答：最喜欢打篮球的有多少人？

解答： 一个"正"字代表5人。

• 跳绳：$5+5+5=15$（人）
• 跑步：$5+5=10$（人）
• 踢毽子：$5+5+2=12$（人）
• 打篮球：$5+1=6$（人）

答：最喜欢打篮球的有6人。

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【例题3 提高】 二（2）班投票选举班长，三位候选人得票情况如下：

• 小红：正正正正
• 小明：正正丅
• 小芳：正正正丅

（1）请完成统计表并回答问题。 （2）小芳比小明多几票？ （3）如果你也是班级一员，你选谁？为什么？

解答： （1）小红：$5\times 4=20$（票），小明：$5\times 2+2=12$（票），小芳：$5\times 3+2=17$（票）

候选人	小红	小明	小芳
票数	20	12	17

（2）$17-12=5$（票） 答：小芳比小明多5票。

（3）（开放题，合理即可）如：我选小红，因为她得的票最多，说明大多数同学都支持她。

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【例题4 提高】 根据下面的信息完成统计表。

二（3）班同学参加兴趣小组情况：

• 参加美术小组的有18人
• 参加音乐小组的比美术小组少5人
• 参加体育小组的有15人
• 参加科技小组的比体育小组多3人

（1）完成统计表。 （2）参加（ ）小组的人数最多，有（ ）人。 （3）四个小组一共有多少人？

解答： （1）音乐小组：$18-5=13$（人），科技小组：$15+3=18$（人）

兴趣小组	美术	音乐	体育	科技
人数	18	13	15	18

（2）参加美术小组和科技小组的人数最多，都有18人。

（3）$18+13+15+18=64$（人） 答：四个小组一共有64人。

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【例题5 拓展】 某商店一周销售三种饮料的数量如下表：

饮料	可乐	果汁	矿泉水
瓶数	45	30	25

（1）这周共卖出多少瓶饮料？ （2）如果你是商店老板，下周进货时你会怎么做？为什么？ （3）你还能提出一个数学问题并解答吗？

解答： （1）$45+30+25=100$（瓶） 答：这周共卖出100瓶饮料。

（2）答：我会多进一些可乐，少进一些矿泉水，因为可乐卖得最好，矿泉水卖得最少。

（3）（答案不唯一）如：可乐比果汁多卖多少瓶？ $45-30=15$（瓶） 答：可乐比果汁多卖15瓶。

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第二单元 表内除法（一）

【例题6 基础】 把18个苹果平均放在6个盘子里，每个盘子放几个？

解答：$18÷6=3$（个） 答：每个盘子放3个。

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【例题7 基础】 24里面有几个4？

解答： 想：4乘几等于24？四六二十四。 $24÷4=6$ 答：24里面有6个4。

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【例题8 提高】 一根绳子长30米，把它剪成每段长5米的跳绳，可以剪几段？需要剪几次？

解答： 段数：$30÷5=6$（段）

剪的次数比段数少1：$6-1=5$（次）

答：可以剪6段，需要剪5次。

注意： 剪的次数 $=$ 段数 $-1$，这是易错点。

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【例题9 提高】 小明有20元钱，买了一种文具后正好用完。他可能买了什么？各买了多少？

文具	铅笔	橡皮	笔记本	尺子
单价	2元	5元	4元	5元

解答：

• 铅笔：$20÷2=10$（支）
• 橡皮：$20÷5=4$（块）
• 笔记本：$20÷4=5$（本）
• 尺子：$20÷5=4$（把）

答：他可能买了10支铅笔，或4块橡皮，或5本笔记本，或4把尺子。

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【例题10 拓展】 一道除法算式，除数是4。小明把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了，结果商是4。正确的商应该是多少？

解答： 错误的被除数：$4\times 4=16$ 小明把被除数的十位和个位看颠倒了，所以正确的被除数是61。 正确的商：$61÷4$ 不能整除，我们再检查一下。

实际上，错误的被除数是$4\times 4=16$。 十位和个位颠倒，原来应该是$61$... 但$61÷4$有余数。

重新理解：$16$颠倒后是$61$，但$61$不是4的倍数。 那如果被除数是两位数，$4\times 6=24$，颠倒后是$42$，$42÷4$也不行。

正确思路： $◻\mathrm{△}÷4=◯$，小明算成了$\mathrm{△}◻÷4=4$

$\mathrm{△}◻=4\times 4=16$ 所以正确被除数是$61$，则：$61÷4=15\cdots \cdots 1$

但如果商是整数的话，再看： $4\times 6=24$，$42÷4$不行 $4\times 3=12$，$21÷4$不行
$4\times 5=20$，$02=2$，$2÷4$不行

重新检验$4\times 6=24$，颠倒为$42$，$42÷4$不行 $4\times 9=36$，颠倒为$63$，$63÷4$不行 $4\times 8=32$，颠倒为$23$，$23÷4$不行 $4\times 7=28$，颠倒为$82$，$82÷4$不行

答案就是$61÷4=15\cdots \cdots 1$。但如果题目限定能整除，则$◻\mathrm{△}=61$不符合。

更合理的题意：商是4余数是几的情况？或者商是6： $4\times 6=24$，颠倒$42$，$42÷4=10\cdots \cdots 2$

修正理解：题目应为"商是6" 错误被除数$=4\times 6=24$，正确被除数$42$，$42÷4=10\cdots \cdots 2$

最常见的标准答案：错误商为4，被除数$16$，颠倒后$61$，$61÷4=15\cdots \cdots 1$ 或错误商为6，$24\to 42$，$42÷4=10\cdots \cdots 2$

我们采用最常见的版本：错误商是4

错误：$\mathrm{△}◻÷4=4$，所以$\mathrm{△}◻=16$ 正确被除数应该是$61$。 但二年级只学表内除法（被除数一般不超过30或36），修正题目为：除数是3。

我们直接给出标准版本的解答（二年级范围）：

【例题10 拓展（修正版）】 一道除法算式，除数是3。小明把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了，结果商是4。正确的商应该是多少？

解答： 错误的被除数：$3\times 4=12$ 正确的被除数应该是$12$的颠倒，即$21$。 正确的商：$21÷3=7$

答：正确的商应该是7。

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【例题11 拓展】 有一堆糖果，数量在20~30之间。平均分给4个小朋友或平均分给6个小朋友都正好分完。这堆糖果有多少颗？

解答： 平均分给4个小朋友正好分完，说明糖果数是4的倍数：20、24、28... 平均分给6个小朋友正好分完，说明糖果数是6的倍数：24、30... 在20~30之间同时是4和6的倍数的数只有24。

答：这堆糖果有24颗。

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第三单元 图形的运动（一）

【例题12 基础】 下面哪些图形是轴对称图形？请在（ ）里画"√"。 （图略，描述：长方形、平行四边形、正方形、圆形、三角形）

解答： 长方形（√） 平行四边形（ ） 正方形（√） 圆形（√） 等腰三角形（√）

说明： 平行四边形对折后不能完全重合，所以不是轴对称图形（特殊的平行四边形如长方形、正方形除外）。

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【例题13 基础】 下列现象是平移的画"△"，是旋转的画"○"。 （1）电梯上下运动（ ） （2）风扇叶片转动（ ） （3）拉抽屉（ ） （4）钟表指针走动（ ） （5）开关教室门（ ） （6）汽车在笔直的公路上行驶（ ）

解答： （1）△ （2）○ （3）△ （4）○ （5）○ （6）△

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【例题14 提高】 一张正方形纸对折两次后剪去一个角，展开后有几个角？

解答： 正方形纸对折两次后变成一个小正方形（或三角形，看对折方式）。 如果沿对角线对折两次后剪去一个角，展开后会得到不同的图形。

标准对折（沿中线对折两次）：变成一个小正方形，剪去一个角后展开，会在中心位置形成一个洞，外围有8个角（原来的4个角被剪成8个）。

答：展开后有8个角。

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【例题15 提高】 下列图形各有几条对称轴？ （1）长方形 （2）正方形 （3）圆 （4）等边三角形

解答： （1）长方形有2条对称轴（过对边中点的直线） （2）正方形有4条对称轴（2条对角线，2条过对边中点的直线） （3）圆有无数条对称轴（过圆心的任意直线） （4）等边三角形有3条对称轴（过每个顶点和对边中点的直线）

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【例题16 拓展】 小明将一张长方形纸先上下对折，再左右对折，然后在折叠后的纸上剪去一个圆形，展开后纸上会出现几个圆形？这些圆形的位置有什么关系？

解答： 长方形纸上下对折一次变成两层，再左右对折一次变成四层。 在折叠后的纸上剪一个圆形，展开后会出现4个圆形。

这4个圆形关于长方形的两条对称轴（上下对折线和左右对折线）对称，即成对称分布。

答：展开后会出现4个圆形，它们关于长方形的中心对称分布。

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第四单元 表内除法（二）

【例题17 基础】 计算。 $56÷7=$　　$72÷8=$　　$63÷9=$　　$48÷6=$

解答：$56÷7=8$（七八五十六） $72÷8=9$（八九七十二） $63÷9=7$（七九六十三） $48÷6=8$（六八四十八）

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【例题18 基础】 48个同学分组做游戏，每组8人，可以分成几组？

解答：$48÷8=6$（组） 答：可以分成6组。

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【例题19 提高】 一本故事书有72页，小明每天看8页，几天可以看完？如果小明想9天看完，平均每天要看多少页？

解答： （1）$72÷8=9$（天） 答：9天可以看完。

（2）$72÷9=8$（页） 答：平均每天要看8页。

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【例题20 提高】 妈妈买了一些苹果，不到40个。如果每6个装一盘或每9个装一盘，都正好装完。妈妈买了多少个苹果？

解答： 苹果数是6和9的公倍数，且小于40。 6的倍数：6、12、18、24、30、36... 9的倍数：9、18、27、36... 6和9的公倍数：18、36...

答：妈妈可能买了18个或36个苹果。

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【例题21 拓展】 把一根木头锯成7段，每锯一次需要8分钟。一共需要多少分钟？如果要在48分钟内锯完，每锯一次平均需要多少分钟？

解答： （1）锯成7段需要锯的次数：$7-1=6$（次） 总时间：$6\times 8=48$（分钟） 答：一共需要48分钟。

（2）$48÷6=8$（分钟） 答：每锯一次平均需要8分钟。

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第五单元 混合运算

【例题22 基础】 计算。 $35-12+18$　　$4\times 6÷3$　　$28+8\times 3$　　$56÷7-6$

解答：$35-12+18=23+18=41$$4\times 6÷3=24÷3=8$$28+8\times 3=28+24=52$$56÷7-6=8-6=2$

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【例题23 基础】 计算。 $(35-12)÷4$　　$8\times (6+3)$　　$45÷(10-5)$　　$(20+16)÷6$

解答：$(35-12)÷4=23÷4=5\cdots \cdots 3$$8\times (6+3)=8\times 9=72$$45÷(10-5)=45÷5=9$$(20+16)÷6=36÷6=6$

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【例题24 提高】 把下面每组中的两个算式合并成一个综合算式。 （1）$35-15=20$，$20÷4=5$ （2）$6\times 7=42$，$42+18=60$ （3）$24+12=36$，$36÷6=6$

解答： （1）$(35-15)÷4=5$　（先算减法，必须加括号） （2）$6\times 7+18=60$　（先算乘法，不需要括号） （3）$(24+12)÷6=6$　（先算加法，必须加括号）

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【例题25 提高】 小华做一道计算题，本来应该先算乘法，再算加法。但他看错了运算顺序，先算了加法，再算乘法，得到结果是64。正确的结果应该是多少？（原题：$◻+\mathrm{△}\times 3$）

解答： 设原题为 $◻+\mathrm{△}\times 3$

小华算成了 $(◻+\mathrm{△})\times 3=64$

$64÷3$ 不是整数，修改题目为看错了顺序，先算加法后算乘法得60。

标准版本： 小华做计算题 $5+◻\times 3$，他先算了加法再算乘法，得到结果是36。正确的结果是多少？

解答： 小华算的：$(5+◻)\times 3=36$$5+◻=36÷3=12$$◻=12-5=7$

正确结果：$5+7\times 3=5+21=26$

答：正确的结果是26。

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【例题26 拓展】 在下面的算式中添上小括号，使等式成立。 （1）$50-18+12=20$ （2）$6\times 7-3=24$ （3）$36÷6+3=4$

解答： （1）$50-(18+12)=50-30=20$ （2）$6\times (7-3)=6\times 4=24$ （3）$36÷(6+3)=36÷9=4$

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第六单元 有余数的除法

【例题27 基础】 计算。 $23÷5=$　　$40÷7=$　　$56÷9=$　　$38÷6=$

解答：$23÷5=4\cdots \cdots 3$（$5\times 4=20$，$23-20=3$） $40÷7=5\cdots \cdots 5$（$7\times 5=35$，$40-35=5$） $56÷9=6\cdots \cdots 2$（$9\times 6=54$，$56-54=2$） $38÷6=6\cdots \cdots 2$（$6\times 6=36$，$38-36=2$）

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【例题28 基础】 在 $◻÷6=4\cdots \cdots \mathrm{△}$ 中，$\mathrm{△}$ 最大可以是几？这时$◻$是多少？

解答： 余数必须比除数小，所以$\mathrm{△}<6$，$\mathrm{△}$最大是5。

当$\mathrm{△}=5$时： $◻=6\times 4+5=24+5=29$

答：$\mathrm{△}$最大可以是5，这时$◻$是29。

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【例题29 提高】 有37个小朋友去划船，每条船最多坐5人。至少需要租几条船？

解答：$37÷5=7$（条）$\cdots \cdots 2$（人）

7条船坐满后还剩2人，这2人还需要1条船。 $7+1=8$（条）

答：至少需要租8条船。

注意： 这是"进一法"的实际应用，有余数时商要加1。

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【例题30 提高】 按下面的规律摆图形：$◯\mathrm{△}◻◯\mathrm{△}◻◯\mathrm{△}◻\cdots$ 第25个图形是什么？第37个呢？

解答： 图形的排列规律是3个一组：$◯\mathrm{△}◻$

$25÷3=8$（组）$\cdots \cdots 1$（个） 余数是1，所以第25个图形是每组的第1个：$◯$

$37÷3=12$（组）$\cdots \cdots 1$（个） 余数是1，所以第37个图形也是$◯$

答：第25个和第37个图形都是$◯$。

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【例题31 拓展】 有一列数：2、5、1、2、5、1、2、5、1、$\cdots$ （1）第20个数是多少？ （2）前20个数的和是多少？

解答： 排列规律是3个一组：2、5、1

（1）$20÷3=6$（组）$\cdots \cdots 2$（个） 余数是2，第20个数是每组的第2个数：5

（2）每组和：$2+5+1=8$ 6组的和：$6\times 8=48$ 再加上余下的2个数：$48+2+5=55$

答：第20个数是5，前20个数的和是55。

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第七单元 万以内数的认识

【例题32 基础】 写出下面各数。 （1）三千五百二十八　　（2）七千零六十　　（3）五千零八

解答： （1）3528　（2）7060　（3）5008

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【例题33 基础】 读出下面各数。 （1）4090　　（2）6800　　（3）3007

解答： （1）4090 读作：四千零九十 （2）6800 读作：六千八百 （3）3007 读作：三千零七

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【例题34 提高】 用3、0、8、0四个数字，按要求组成四位数。 （1）一个零都不读的数： （2）只读一个零的数： （3）最大的四位数和最小的四位数分别是多少？

解答： （1）一个零都不读，两个0都要放在末尾：3800、8300

（2）只读一个零，可以是一个0在中间一个0在末尾，或两个0相邻在中间： 3080、8030、3008、8003

（3）最大的四位数：把数字从大到小排：8300 最小的四位数：把数字从小到大排，但千位不能是0：3008

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【例题35 提高】 一个四位数，它的千位上的数字是最大的一位数，百位上的数字比千位小4，十位上的数字是百位的2倍，个位上的数字是最小的一位数。这个数是多少？

解答： 千位：最大的一位数是9 百位：$9-4=5$ 十位：$5\times 2=10$，这不对（十位数字不能是10）

修正：十位上的数字是百位数字的2倍，但$5\times 2=10$不是个位数。 将百位改为3，千位为7。

重新出题并解答：

【例题35 提高（修正版）】 一个四位数，千位上的数字是7，百位上的数字是3，十位上的数字是百位的2倍，个位上的数字比十位小5。这个数是多少？

解答： 千位：7 百位：3 十位：$3\times 2=6$ 个位：$6-5=1$

答：这个数是7361。

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【例题36 拓展】 在$◻$里填上合适的数字。 （1）$5◻28>5530$，$◻$里最小填几？ （2）$36◻0<3651$，$◻$里最大填几？ （3）$8◻47\approx 9000$，$◻$里可以填几？

解答： （1）两个数都是四位数，千位相同。百位上$◻$要使得$5◻28>5530$。 如果$◻=5$，则$5528<5530$，不行。 如果$◻=6$，则$5628>5530$，可以。 所以$◻$最小填6。

（2）$36◻0<3651$，十位上$◻$要小于或等于5。 如果$◻=5$，$3650<3651$，可以。 如果$◻=6$，$3660>3651$，不行。 所以$◻$最大填5。

（3）$8◻47\approx 9000$，说明要"五入"到9000，百位上的$◻$要大于或等于5。 $◻$里可以填5、6、7、8、9。

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第八单元 克和千克

【例题37 基础】 填上合适的单位（克或千克）。 （1）一个苹果约重150（ ） （2）一袋大米约重25（ ） （3）一个鸡蛋约重50（ ） （4）小明的体重约30（ ）

解答： （1）克　（2）千克　（3）克　（4）千克

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【例题38 基础】 换算。 3千克 $=$（ ）克　　5000克 $=$（ ）千克　　2千克500克 $=$（ ）克

解答： 3千克 $=3000$克 5000克 $=5$千克 2千克500克 $=2000+500=2500$克

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【例题39 提高】 一箱苹果连箱共重20千克，吃了一半苹果后，连箱共重11千克。原来苹果重多少千克？箱子重多少千克？

解答： 一半苹果重：$20-11=9$（千克） 原来苹果重：$9\times 2=18$（千克） 箱子重：$20-18=2$（千克）

答：原来苹果重18千克，箱子重2千克。

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【例题40 提高】 用1千克、3千克、9千克的砝码各一个，在天平上可以称出哪些不同的质量？

解答： 可以称出的质量（砝码放一边）：

• 1千克
• 3千克
• 9千克
• $1+3=4$千克
• $1+9=10$千克
• $3+9=12$千克
• $1+3+9=13$千克

还可以把砝码放在天平两边（如：3千克砝码放一边，1千克砝码和物体放另一边，称出$3-1=2$千克的物体）：

• $3-1=2$千克
• $9-1=8$千克
• $9-3=6$千克
• $9+1-3=7$千克
• $9+3-1=11$千克

答：一共可以称出1、2、3、4、6、7、8、9、10、11、12、13千克，共12种不同的质量。

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【例题41 拓展】 一个西瓜重8千克，如果买一半送一半（即买一半西瓜，送等量的一半），小明付了16元。每千克西瓜多少钱？

解答： 买一半送一半，即花一半的钱得到整个西瓜。 实际上相当于16元买了8千克西瓜。 $16÷8=2$（元/千克）

答：每千克西瓜2元。

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第九单元 数学广角——推理

【例题42 基础】 小明、小红、小刚三人分别拿着语文书、数学书、英语书。已知：

• 小明拿的不是语文书
• 小红拿的是数学书

请问：小明和小刚各拿的是什么书？

解答： 小红拿的是数学书。 小明拿的不是语文书，也不是数学书（小红拿了），所以小明拿的是英语书。 剩下小刚拿的是语文书。

答：小明拿的是英语书，小刚拿的是语文书。

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【例题43 基础】 在下面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。B应该是几？

	3
		B	1
	2
4			3

解答： （简单版本，补充条件使题目可解）

假设第一行有更多信息，我们可以用排除法：

看第4列：已经有1和3，还缺2和4。 第1行第4列和第2行第4列...

看第2行：已经有B和1。 看第3列：B在第3列。 看第2列：已经有3和2。

通过逐步推理： 第4行第1列是4，第4列是3，所以第4行缺1和2。 第2列已经有3和2，所以第4行第2列只能是1。 那么第4行第3列是2。

第3列现在有了2，B在第3列第2行。 第2行有B和1，B可以是2、3、4中的一个。 第3列已经有2了，B不能是2。 第2行已经有1了。

继续推理：第2列，已经有3、2、1，缺4。所以第2行第2列是4。 那么第2行已经有4和1，B只能是2或3。第3列已经有2了，所以B是3。

答：B应该是3。

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【例题44 提高】 甲、乙、丙、丁四人参加跑步比赛。

• 甲说："我不是第一名，也不是最后一名。"
• 乙说："我不是第一名。"
• 丙说："我是第一名。"
• 丁说："我是最后一名。"

已知四人中只有一人说了假话，请问谁是第一名？

解答： 假设丙说的"我是第一名"是真话，则丙是第一名。 那么乙说"我不是第一名"也是真话。 丁说"我是最后一名"也是真话（因为如果丙是第一，乙不是第一，甲不是第一也不是最后，那么甲第二或第三，丁可以是最后一名）。 甲说"我不是第一也不是最后"，如果丙是第一，丁是最后，甲是第二或第三，这也是真话。

四人都说真话，与条件矛盾（只有一人说假话）。

重新假设丙说的是假话，即丙不是第一名。 那么甲、乙、丁都说真话。 丁是最后一名，甲不是第一也不是最后（所以甲是第二或第三）。 乙不是第一名。 丙不是第一名。 甲不是第一名。 那就没有人是第一名了，矛盾！

等等，这说明假设丙说假话不行。

再假设甲说假话：甲是第一或最后。 如果甲是第一，则丙说的"我是第一"就是假话。这样有两人说假话，不行。

如果甲是最后，但丁说"我是最后"也是假话。这样也是两人说假话，不行。

假设乙说假话：乙是第一名。 那么丙说"我是第一"也是假话。两人说假话，不行。

假设丁说假话：丁不是最后一名。 甲不是第一也不是最后。 乙不是第一。 丙是第一。 那么名次：丙第一，甲第二或第三，乙第二或第三，丁...丁可以是第二或第三。 最后一名只能是乙或甲。但甲不是最后，乙不是第一但可以是最后。

所以：丙第一，甲第二，丁第三，乙第四（最后）。 检验：甲（不是第一不是最后）真话，乙（不是第一）真话，丙（我是第一）真话，丁（我是最后）假话。 只有丁说假话，符合条件！

答：丙是第一名。

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【例题45 提高】 小华、小明、小刚、小红四人中，有一人做了好事。老师问是谁做的：

• 小华："是小明做的。"
• 小明："不是我做的。"
• 小刚："不是我做的。"
• 小红："是小华做的。"

已知只有一人说了真话，请问好事是谁做的？

解答： 小华和小明的话互相矛盾，必有一真一假。 因为只有一人说真话，所以小刚和小红说的都是假话。

小红说"是小华做的"是假话，说明不是小华做的。 小刚说"不是我做的"是假话，说明是小刚做的。

检验：如果是小刚做的：

• 小华（是小明做的）假话
• 小明（不是我做的）真话
• 小刚（不是我做的）假话
• 小红（是小华做的）假话

只有小明一人说真话，符合条件！

答：好事是小刚做的。

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【例题46 拓展】 在下面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。填出所有的数。

4		1
	3
		3
	1		4

解答： 第1行：有4和1，缺2和3。第2列和第4列。 第4列已经有4了，所以第1行第4列不能是4，可以是2或3。

第1行第2列：看第2列，已经有3和1了，缺2和4。第1行已经有4了，所以第1行第2列是2。 那么第1行第4列是3。

第1行：4、2、1、3

第2行：第2列是3。第1列缺1和2和3（已经有4），即1、2、3。 第2行有3，所以第2行第1列是1或2。

第3列：有1和3，缺2和4。 第4行第3列和第2行第3列。 第4行有4和1，第4行第3列可以是2（不能是4，因为第4行已经有4）。 所以第4行第3列是2。 那么第2行第3列是4。

第2行：第1列、第3列是4、第2列是3、第4列。 第2行有3和4，缺1和2。 第1列已经有4了，第2行第1列可以是1或2。 第4列已经有3和4了，缺1和2。

第3行：第3列是3。缺1、2、4。 第4列：已经有3和4，缺1和2。 第3行第4列是1或2。

第1列：已经有4了。看第2、3、4行。 第4行有4、1、2，所以第4行第1列是3。 第1列现在缺1和2（在第2行和第3行）。

第4行：3、1、2、4

第2行第1列：1或2。 第3行第1列：1或2（与第2行不同）。

第2行有3和4，缺1和2。第1列和第4列。 第4列已经有3和4了，缺1和2。 如果第2行第1列是1，第2行第4列是2。 那么第3行第1列是2，第3行第4列是1。

第3行：2、？、3、1 第3行缺4，所以第3行第2列是4。

但第2列已经有2、3、1了... 第2列：第1行是2，第2行是3，第4行是1，所以第3行第2列应该是4。对！

完整答案：

4	2	1	3
1	3	4	2
2	4	3	1
3	1	2	4

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四、期末综合复习题

（一）选择题（每题2分，共20分）

1. 下面的计算中，商是8的是（　　）

A. $42÷6$　　B. $56÷7$　　C. $36÷9$　　D. $48÷8$

2. 一个四位数，从右边起第三位是（　　）

A. 个位　　B. 十位　　C. 百位　　D. 千位

3. 下面算式中，结果最大的是（　　）

A. $24÷3$　　B. $4\times 5$　　C. $36÷6$　　D. $30-18$

4. 一个苹果大约重（　　）

A. 1克　　B. 150克　　C. 1千克　　D. 15千克

5. $8◻3>864$，$◻$里最小填（　　）

A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8

6. 下面算式中，先算减法的是（　　）

A. $45-12+8$　　B. $36÷(10-4)$　　C. $5\times 8-20$　　D. $18+27÷9$

7. 下面图形中，对称轴最多的是（　　）

A. 长方形　　B. 正方形　　C. 圆　　D. 等边三角形

8. $◻÷7=6\cdots \cdots \mathrm{△}$，$\mathrm{△}$最大时，$◻$是（　　）

A. 42　　B. 47　　C. 48　　D. 49

9. 下面的数中，最接近5000的是（　　）

A. 4900　　B. 4995　　C. 5005　　D. 5100

10. 有一些糖果，平均分给6个小朋友或平均分给8个小朋友都剩2颗。这些糖果最少有（　　）颗。

A. 24　　B. 26　　C. 48　　D. 50

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（二）填空题（每空2分，共20分）

11. $48÷8=$____，用到的乘法口诀是________。

12. 3000里面有____个百；52个十是____。

13. 在算式 $35-15÷5$ 中，应先算____法，再算____法，结果是____。

14. 一个数除以9，商是5，余数是7。这个数是____。

15. 与3999相邻的两个数分别是____和____。

16. 在（ ）里填上"克"或"千克"。 一个西瓜约重5（　　）；一枚邮票约重3（　　）。

17. 按规律填数：1、4、9、16、25、____、49。

18. 小明做一道除法题，把除数6看成了9，得到的商是3。正确的商应该是____。

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（三）计算题（共32分）

19. 直接写出得数。（16分）

$36÷6=$　　$7\times 8=$　　$54÷9=$　　$45+28=$

$63÷7=$　　$6\times 6=$　　$81÷9=$　　$72-36=$

$40÷8=$　　$9\times 4=$　　$35÷5=$　　$56+24=$

$48÷6=$　　$8\times 7=$　　$32÷4=$　　$90-45=$

20. 用竖式计算。（8分）

$58÷7=$　　$43÷6=$　　$65÷8=$　　$37÷5=$

21. 脱式计算。（8分）

$56-18+25$

$36÷6\times 4$

$(72-36)÷4$

$8\times (45-38)$

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（四）解决问题（共18分）

22. 二（1）班有45名同学，平均分成5组做实验。每组有几名同学？（3分）

23. 妈妈带了100元去超市，买了3千克苹果，每千克8元；又买了一袋25元的大米。妈妈还剩多少钱？（4分）

24. 一根绳子长38米，做一根长跳绳需要7米。最多能做几根长跳绳？还剩几米？（3分）

25. 一本故事书有64页，小明已经看了16页。如果剩下的每天看8页，还要几天才能看完？（4分）

26. 有28名同学去公园划船，大船每条坐6人，小船每条坐4人。 （1）如果都坐大船，至少需要几条？（2分） （2）如果都坐小船，至少需要几条？（2分）

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（五）拓展题（共10分）

27. 小马虎做计算时，把"$◻\times 3+20$"错算成了"$◻+3\times 20$"，得到的结果是80。正确的结果是多少？（4分）

28. 有一列数按"2、3、1、2、3、1、2、3、1$\cdots$"的规律排列。 （1）第25个数是多少？（2分） （2）前25个数的和是多少？（2分）

29. 甲、乙、丙、丁四个小朋友比身高。已知：

• 甲比乙高，但比丙矮
• 丁比乙矮

请问：谁最高？谁最矮？把他们按从高到矮的顺序排列。（2分）

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五、参考答案与解析

（一）选择题

1. 答案：B

解析：$42÷6=7$；$56÷7=8$；$36÷9=4$；$48÷8=6$。商是8的是$56÷7$。

2. 答案：C

解析：一个四位数，从右边起依次是个位、十位、百位、千位。第三位是百位。

3. 答案：B

解析：A. $24÷3=8$；B. $4\times 5=20$；C. $36÷6=6$；D. $30-18=12$。最大的是20。

4. 答案：B

解析：一个苹果大约重150克，这是生活常识。1克太轻（大约是一枚2分硬币的重量），1千克太重（大约是两袋盐的重量）。

5. 答案：B

解析：两个数百位都是8，比较十位。$8◻3>864$，$◻$要大于或等于6。$◻=6$时，$863<864$，不行。$◻=7$时，$873>864$...

重新检验：$◻=6$时，$863<864$，不满足。 $◻=7$时，$873>864$，满足。

最小填7？再检验$◻=6$：$863$与$864$比较，$863<864$，确实不行。 $◻=7$：$873>864$，可以。

但标准答案是6？再仔细看：两个数都是三位数，百位都是8。 十位$◻$和6比较。 如果$◻>6$，则$8◻3>864$。 如果$◻=6$，则$863<864$，不满足。

所以$◻$最小填7。答案是C。

6. 答案：B

解析：有小括号的先算括号里面的。B选项先算$10-4=6$。 A选项从左到右先算减法（同级运算）；C选项先算乘法；D选项先算除法。

7. 答案：C

解析：长方形2条，正方形4条，圆有无数条，等边三角形3条。

8. 答案：C

解析：余数最大是6（比除数7小1）。被除数$=7\times 6+6=42+6=48$。

9. 答案：B或C

解析：$4995$与$5000$相差5，$5005$与$5000$也相差5。如果只能选一个，选B或C都可以。一般选B. 4995。

10. 答案：B

解析：糖果数减去2后，能同时被6和8整除。 6和8的最小公倍数是24。 最少有 $24+2=26$（颗）。

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（二）填空题

11. 6，六八四十八

12. 30，520

13. 除，减，32

解析：$35-15÷5=35-3=32$

14. 52

解析：$9\times 5+7=45+7=52$

15. 3998，4000

16. 千克，克

17. 36

解析：这是平方数数列：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，$25=5^2$，$36=6^2$，$49=7^2$。

18. 4（或4余3）

解析：$9\times 3=27$（这是被除数），$27÷6=4\cdots \cdots 3$。

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（三）计算题

19. 直接写出得数。

$36÷6=6$　　$7\times 8=56$　　$54÷9=6$　　$45+28=73$

$63÷7=9$　　$6\times 6=36$　　$81÷9=9$　　$72-36=36$

$40÷8=5$　　$9\times 4=36$　　$35÷5=7$　　$56+24=80$

$48÷6=8$　　$8\times 7=56$　　$32÷4=8$　　$90-45=45$

20. 用竖式计算。

$58÷7=8\cdots \cdots 2$

$43÷6=7\cdots \cdots 1$

$65÷8=8\cdots \cdots 1$

$37÷5=7\cdots \cdots 2$

21. 脱式计算。

$56-18+25$

$=38+25$

$=63$

$36÷6\times 4$

$=6\times 4$

$=24$

$(72-36)÷4$

$=36÷4$

$=9$

$8\times (45-38)$

$=8\times 7$

$=56$

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（四）解决问题

22.

$45÷5=9$（名）

答：每组有9名同学。

23.

苹果花费：$3\times 8=24$（元）

剩余：$100-24-25=51$（元）

或 $100-(24+25)=100-49=51$（元）

答：妈妈还剩51元。

24.

$38÷7=5$（根）$\cdots \cdots 3$（米）

答：最多能做5根长跳绳，还剩3米。

25.

剩余页数：$64-16=48$（页）

还需要天数：$48÷8=6$（天）

答：还要6天才能看完。

26.

（1）$28÷6=4$（条）$\cdots \cdots 4$（人）

$4+1=5$（条）

答：至少需要5条大船。

（2）$28÷4=7$（条）

答：至少需要7条小船。

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（五）拓展题

27.

小马虎算的是：$◻+3\times 20=80$

先算乘法：$◻+60=80$

$◻=80-60=20$

正确结果：$20\times 3+20=60+20=80$

答：正确的结果是80。

28.

（1）排列规律是"2、3、1"三个一组。

$25÷3=8$（组）$\cdots \cdots 1$（个）

余数是1，第25个数是每组的第1个：2

答：第25个数是2。

（2）每组和：$2+3+1=6$

8组和：$8\times 6=48$

再加上余下的1个数（2）：$48+2=50$

答：前25个数的和是50。

29.

分析：

• 甲比乙高，但比丙矮 → 丙 > 甲 > 乙
• 丁比乙矮 → 乙 > 丁

综合：丙 > 甲 > 乙 > 丁

答：丙最高，丁最矮。从高到矮排列为：丙、甲、乙、丁。

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六、拓展提高题精选

以下3道拓展题综合性强，适合学有余力的同学挑战。

拓展题1

用0、0、3、5这四个数字，按要求组成四位数。 （1）一个零都不读的数有哪些？ （2）只读一个零的数有哪些？ （3）最大的四位数与最小的四位数相差多少？

解答：

（1）一个零都不读：两个0都要在末尾。 答：3500、5300。

（2）只读一个零：至少一个0在中间，且两个0不相邻或只有一个0在中间。 答：3005、3050、5003、5030。

（3）最大的四位数：5300 最小的四位数：3005 相差：$5300-3005=2295$

答：最大的四位数与最小的四位数相差2295。

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拓展题2

一根木头长47米，木工师傅先截去5米长的损坏部分，剩下的每6米截成一段。一共可以截成几段？一共截几次？

解答：

剩余长度：$47-5=42$（米）

可以截成：$42÷6=7$（段）

截的次数：$7-1=6$（次）

还要加上截去损坏部分的1次：$6+1=7$（次）

如果只算后面截的次数：6次。

答：一共可以截成7段，后面截了6次（如果算上开头截去损坏部分，共7次）。

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拓展题3

甲、乙、丙三人中，一人是医生，一人是教师，一人是警察。已知：

• 甲说："我是医生。"
• 乙说："我不是教师。"
• 丙说："我不是警察。"

三人中只有一人说了真话。请问甲、乙、丙各是什么职业？

解答：

假设甲说真话（甲是医生）：

• 则乙说的"我不是教师"是假话 → 乙是教师
• 丙说的"我不是警察"是假话 → 丙是警察
• 这样乙是教师，丙是警察，甲是医生，不矛盾。

但这时只有甲一人说真话，符合条件吗？ 检验：甲真、乙假、丙假。确实只有一人说真话。

但继续检验是否有其他可能：

假设乙说真话（乙不是教师）：

• 则甲说的"我是医生"是假话 → 甲不是医生
• 丙说的"我不是警察"是假话 → 丙是警察
• 乙不是教师（真话），那乙只能是医生
• 甲不是医生，丙是警察，乙是医生，则甲只能是教师
• 这样：甲是教师，乙是医生，丙是警察
• 检验：甲（我是医生）假、乙（我不是教师）真（乙是医生）、丙（我不是警察）假
• 符合条件！

假设丙说真话（丙不是警察）：

• 甲说的"我是医生"是假话 → 甲不是医生
• 乙说的"我不是教师"是假话 → 乙是教师
• 丙不是警察，乙是教师，则丙是医生
• 甲只能是警察
• 这样：甲是警察，乙是教师，丙是医生
• 检验：甲假、乙假、丙真（丙不是警察，丙是医生）
• 符合条件！

所以有三种可能的答案？但通常这类题有唯一解。

再仔细看题目... 这类题的经典版本应该是"只有一人说了假话"或者条件略有不同。

如果题目是"只有一人说了假话"：

• 甲真（甲是医生），乙真（乙不是教师），则丙假话（丙是警察）
• 甲是医生，丙是警察，乙只能是教师，但乙说他不是教师是假话...矛盾

回到原题，通常标准版本为：

• 甲：我是医生
• 乙：我不是教师
• 丙：甲在说谎

这样如果甲说真话，丙就说假话，乙也说假话（乙不是教师→乙是教师），符合。

给出标准答案（最常见的版本）：

【拓展题3（标准版本）】 甲、乙、丙三人中，一人是医生，一人是教师，一人是警察。已知：

• 甲说："我是医生。"
• 乙说："我不是教师。"
• 丙说："甲在说谎。"

三人中只有一人说了真话。请问甲、乙、丙各是什么职业？

解答：

甲和丙的话互相矛盾，必有一真一假。 因为只有一人说真话，所以乙一定说假话。

乙说"我不是教师"是假话 → 乙是教师。

如果甲说真话（甲是医生），则丙说假话。 丙说"甲在说谎"是假话 → 甲没有说谎，即甲确实是医生。这与假设一致。 那么丙只能是警察。

检验：甲是医生（真话），乙说"我不是教师"是假话（乙是教师，确实不是真话），丙说"甲在说谎"是假话（甲没说谎）。

等等，这样甲说真话，乙说假话，丙说假话。只有一人说真话，符合条件！

答：甲是医生，乙是教师，丙是警察。

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附录：常用公式与方法总结

1. 表内除法

• 想乘法算除法：想 除数 $\times$ ( ) $=$ 被除数
• 平均分：总数 $÷$ 份数 $=$ 每份数；总数 $÷$ 每份数 $=$ 份数

2. 有余数的除法

• 被除数 $=$ 商 $\times$ 除数 $+$ 余数
• 余数 $<$ 除数（余数一定要比除数小）
• 验算：商 $\times$ 除数 $+$ 余数 $=$ 被除数

3. 混合运算顺序

• 只有加减法或只有乘除法：从左到右
• 既有乘除又有加减：先算乘除，后算加减
• 有小括号：先算括号里面的

4. 万以内数的读写

• 读数：从高位读起，中间有一个或两个0只读一个"零"，末尾的0不读
• 写数：从高位写起，哪一位上没有数就写0

5. 质量单位换算

• 1千克 $=$ 1000克
• 大单位化小单位：$\times$ 1000
• 小单位化大单位：$÷$ 1000

6. 解决问题常用策略

• 进一法：租船、租车、装东西等，有余数时商 $+$ 1
• 去尾法：买东西、做衣服等，有余数时商不变
• 周期问题：总数 $÷$ 每组个数 $=$ 组数 $\cdots \cdots$ 余数，余几就是第几个
• 还原法：从结果出发，倒推求原来的数