人教版小学六年级上册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

第一单元：分数乘法

• 分数乘整数的意义和计算方法
• 一个数乘分数的意义和计算方法
• 分数乘法的简便运算（约分技巧）
• 小数乘分数
• 分数乘法混合运算和简便运算
• 解决问题：求一个数的几分之几是多少
• 解决问题：连续求一个数的几分之几
• 解决问题：求比一个数多（少）几分之几的数

第二单元：位置与方向（二）

• 用方向和距离确定物体的位置
• 在平面图上标出物体的位置
• 描述简单的路线图
• 相对位置关系的理解

第三单元：分数除法

• 倒数的认识
• 分数除以整数
• 一个数除以分数
• 分数混合运算
• 解决问题：已知一个数的几分之几是多少，求这个数
• 解决问题：已知比一个数多（少）几分之几的数，求这个数
• 解决问题：和倍问题、工程问题

第四单元：比

• 比的意义和读写
• 比的基本性质
• 化简比
• 按比分配
• 比与分数、除法的关系

第五单元：圆

• 圆的认识（圆心、半径、直径）
• 圆的画法
• 圆的周长（公式推导与计算）
• 圆的面积（公式推导与计算）
• 圆环的面积
• 扇形的认识
• 解决问题：外方内圆、外圆内方
• 解决问题：与圆相关的组合图形

第六单元：百分数（一）

• 百分数的意义和读写
• 百分数与分数、小数的互化
• 解决问题：求百分率
• 解决问题：求一个数的百分之几是多少
• 解决问题：求一个数比另一个数多（少）百分之几
• 解决问题：求比一个数多（少）百分之几的数

第七单元：扇形统计图

• 扇形统计图的认识和特点
• 从扇形统计图中获取信息
• 三种统计图（条形、折线、扇形）的选择

第八单元：数学广角——数与形

• 探索数与形的关系
• 利用图形解决数的问题
• 等差数列求和与正方形数

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二、各单元重要考点详解

第一单元 分数乘法 · 考点详解

考点1：分数乘整数

分数乘整数的意义与整数乘法相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。

计算方法：用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的先约分。

$$\frac{a}{b}\times c=\frac{a\times c}{b}$$

考点2：一个数乘分数

一个数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。

计算方法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

$$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$$

考点3：积与因数的大小关系

• 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原来的数
• 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原来的数
• 一个数（0除外）乘1，积等于原来的数

考点4：分数乘法运算定律

• 交换律：$a\times b=b\times a$
• 结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 分配律：$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

考点5：解决问题

• 找准单位"1"的量
• 单位"1"已知，用乘法
• 求比一个数多几分之几：$a\times (1+\frac{n}{m})$
• 求比一个数少几分之几：$a\times (1-\frac{n}{m})$

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第二单元 位置与方向（二）· 考点详解

考点1：确定位置的三要素 观测点、方向（角度）、距离，三者缺一不可。

考点2：方向的描述

• 先确定主方向（东、南、西、北），再确定偏离角度
• 例如：北偏东 $30°$（从正北方向向东偏 $30°$）

考点3：相对位置 A相对于B的位置与B相对于A的位置，方向相反，角度相等，距离相等。

考点4：描述路线图 按行走顺序，依次描述每段路的行走方向和距离。

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第三单元 分数除法 · 考点详解

考点1：倒数

• 乘积是1的两个数互为倒数
• 求倒数的方法：分子分母交换位置
• 1的倒数是1，0没有倒数

考点2：分数除法的计算法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

$$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$$

考点3：商与被除数的大小关系

• 除数大于1，商小于被除数
• 除数小于1（且大于0），商大于被除数
• 除数等于1，商等于被除数

考点4：分数混合运算 运算顺序与整数混合运算相同：先乘除，后加减，有括号的先算括号里的。

考点5：解决问题（重点）

• 单位"1"未知，用除法或列方程
• 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：$\text{已知量}÷\frac{n}{m}$
• 和倍问题：设单位"1"为 $x$，根据等量关系列方程
• 工程问题：工作总量="1"，工作效率 $=\frac{1}{\text{工作时间}}$

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第四单元 比 · 考点详解

考点1：比的意义 两个数的比表示两个数相除。$a:b=a÷b=\frac{a}{b}$（$b\ne 0$）

考点2：比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

考点3：化简比

• 整数比：同时除以最大公因数
• 分数比：先乘分母的最小公倍数化为整数比，再化简
• 小数比：先乘10、100等化为整数比，再化简

考点4：按比分配 先求总份数，再求各部分占总量的几分之几，最后用乘法计算。

考点5：比、分数、除法的关系 | 比 | 前项 | :（比号） | 后项 | 比值 | | 分数 | 分子 | —（分数线） | 分母 | 分数值 | | 除法 | 被除数 | \div（除号） | 除数 | 商 |

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第五单元 圆 · 考点详解

考点1：圆的基本概念

• 圆心（O）：确定圆的位置
• 半径（r）：圆心到圆上任意一点的线段，确定圆的大小
• 直径（d）：通过圆心两端都在圆上的线段
• 关系：$d=2r$，$r=\frac{d}{2}$

考点2：圆的周长

$$C=\pi d=2\pi r$$

其中 $\pi \approx 3.14$

考点3：圆的面积

$$S=\pi r^2$$

考点4：圆环的面积

$$S_{\text{圆环}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)$$

其中 $R$ 为外圆半径，$r$ 为内圆半径。

考点5：扇形

• 弧：圆上任意两点间的部分
• 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形
• 圆心角：顶点在圆心的角

考点6：外方内圆与外圆内方

• 外方内圆：正方形边长 = 圆的直径，$S_{\text{阴影}}=a^2-\pi (\frac{a}{2}{)}^2$
• 外圆内方：圆的直径 = 正方形对角线，$S_{\text{阴影}}=\pi r^2-2r^2$

考点7：半圆的周长和面积

• 半圆周长：$C=\pi r+2r=(\pi +2)r$（注意：要加直径！）
• 半圆面积：$S=\frac{1}{2}\pi r^2$

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第六单元 百分数（一）· 考点详解

考点1：百分数的意义 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫百分率或百分比。

考点2：互化方法

• 小数化百分数：小数点向右移两位，加%
• 百分数化小数：去掉%，小数点向左移两位
• 分数化百分数：先化小数，再化百分数
• 百分数化分数：写成分母是100的分数，再约分

考点3：求百分率

$$\text{百分率}=\frac{\text{比较量}}{\text{标准量}}\times 100\mathrm{\%}$$

常见百分率：出勤率、合格率、发芽率、成活率、命中率等。

考点4：求一个数比另一个数多（少）百分之几

$$\text{多的百分率}=\frac{\text{大数}-\text{小数}}{\text{单位"1"的量}}\times 100\mathrm{\%}$$

考点5：求比一个数多（少）百分之几的数

• 方法1：先求多（少）的具体数量，再加（减）
• 方法2：$a\times (1\pm n\mathrm{\%})$

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第七单元 扇形统计图 · 考点详解

考点1：扇形统计图的特点 用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分占总数的百分比。

考点2：计算各部分数量

$$\text{部分数量}=\text{总数量}\times \text{该部分所占百分比}$$

考点3：三种统计图的选择

• 条形统计图：表示数量的多少，便于比较
• 折线统计图：表示数量的增减变化趋势
• 扇形统计图：表示各部分与总数的关系（百分比）

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第八单元 数学广角——数与形 · 考点详解

考点1：等差数列求和与正方形

$$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$$

考点2：等比数列求和

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$$

考点3：利用图形推导公式 通过分割、拼接等方法，利用图形直观理解数学规律。

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三、常见题型与例题

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第一单元 分数乘法

【基础题】例题1：计算 $\frac{5}{12}\times 8$

分析：分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变，能约分的先约分。

解答：

$$\frac{5}{12}\times 8=\frac{5\times 8}{12}=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$$

或者先约分：

$$\frac{5}{12}\times 8=\frac{5}{{\cancel{12}}_3}\times {\cancel{8}}^2=\frac{10}{3}$$

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【基础题】例题2：计算 $\frac{3}{7}\times \frac{14}{15}$

分析：分数乘分数，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分。

解答：

$$\frac{3}{7}\times \frac{14}{15}=\frac{{\cancel{3}}^1}{{\cancel{7}}_1}\times \frac{{\cancel{14}}^2}{{\cancel{15}}_5}=\frac{2}{5}$$

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【提高题】例题3：用简便方法计算 $\frac{7}{13}\times \frac{5}{11}+\frac{5}{13}\times \frac{4}{11}$

分析：这道题如果直接计算比较繁琐。观察发现两个乘法算式中分子分母有相似之处，可以通过变形后用乘法分配律简算。

解答：

$$\frac{7}{13}\times \frac{5}{11}+\frac{5}{13}\times \frac{4}{11}$$$$=\frac{5}{13}\times \frac{7}{11}+\frac{5}{13}\times \frac{4}{11}$$$$=\frac{5}{13}\times (\frac{7}{11}+\frac{4}{11})$$$$=\frac{5}{13}\times \frac{11}{11}=\frac{5}{13}\times 1=\frac{5}{13}$$

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【提高题】例题4：一本书有240页，小红第一天看了全书的 $\frac{1}{4}$，第二天看了余下的 $\frac{2}{3}$，还剩多少页没看？

分析：注意两个分数的单位"1"不同。第一个 $\frac{1}{4}$ 的单位"1"是全书240页；第二个 $\frac{2}{3}$ 的单位"1"是第一天看完后剩下的页数。

解答：

第一天看的页数：$240\times \frac{1}{4}=60$（页）

第一天看完后剩下：$240-60=180$（页）

第二天看的页数：$180\times \frac{2}{3}=120$（页）

还剩：$240-60-120=60$（页）

答：还剩60页没看。

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【拓展题】例题5：计算 $(1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})\times (1-\frac{1}{4})\times \cdots \times (1-\frac{1}{100})$

分析：先把每个括号里的结果算出来，然后观察是否可以约分。

解答：

$$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \cdots \times \frac{99}{100}$$

观察发现前一个分数的分母与后一个分数的分子可以约分（裂项相消）：

$$=\frac{1}{\cancel{2}}\times \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}\times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\times \cdots \times \frac{\cancel{99}}{100}=\frac{1}{100}$$

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【拓展题】例题6：六年级三个班共植树120棵，一班植了总数的 $\frac{1}{3}$，二班植了余下的 $\frac{3}{5}$，三班植树多少棵？

分析：连续求余下部分的几分之几，注意单位"1"的变化。

解答：

一班植树：$120\times \frac{1}{3}=40$（棵）

余下：$120-40=80$（棵）

二班植树：$80\times \frac{3}{5}=48$（棵）

三班植树：$120-40-48=32$（棵）

答：三班植树32棵。

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第二单元 位置与方向（二）

【基础题】例题1：以小林家为观测点，学校在什么位置？

已知：学校在小林家北偏东 $40°$ 方向，距离800米处。

分析：确定位置需要三个要素：观测点、方向、距离。

解答：以小林家为观测点，向北偏东 $40°$ 方向画一条射线，在射线上取800米的点，即为学校位置。

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【提高题】例题2：小明从家出发，先向东偏北 $30°$ 方向走500米到图书馆，再向南偏东 $45°$ 方向走400米到学校。画出小明上学的路线图，并求出学校在小明家什么方向大约多少米？

分析：需要分步绘制路线图，然后利用几何知识判断最终位置。这是一个涉及几何合成的方向问题。

解答：建立坐标系，以小明家为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向。

第一段：东偏北 $30°$ 走500米

• 向东分量：$500\times \cos 30°=500\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 433$（米）
• 向北分量：$500\times \sin 30°=250$（米）

第二段：南偏东 $45°$ 走400米

• 向东分量：$400\times \cos 45°=400\times \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 283$（米）
• 向南分量：$400\times \sin 45°\approx 283$（米）

总位移：

• 向东：$433+283=716$（米）
• 向北：$250-283=-33$（米），即向南33米

学校在小明家东偏南约 $2.6°$ 方向，距离约 $\sqrt{{716}^2+{33}^2}\approx 717$ 米。

答：学校在小明家东偏南方向约717米。

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【拓展题】例题3：一艘轮船从A港出发，先向北偏东 $60°$ 方向航行40千米到达B点，然后向北偏西 $30°$ 方向航行30千米到达C点。求C点在A港的什么方向？距离A港多少千米？

分析：利用方位角的几何关系来求解。关键是找到两个航行方向的夹角。

解答：

第一段航行方向：北偏东 $60°$，即从正北向东偏 $60°$ 第二段航行方向：北偏西 $30°$，即从正北向西偏 $30°$

两段的夹角：$60°+30°=90°$

所以在三角形ABC中，$\mathrm{\angle }ABC$ 处的外角需要仔细分析。实际上，第一段航向与正北夹角 $60°$，第二段航向也与正北夹角 $30°$，且分别在正北两侧，所以转向角为 $60°+30°=90°$。

建立坐标系：A为原点，设C点坐标为 $(x,y)$

B点坐标：$(40\sin 60°,40\cos 60°)=(20\sqrt{3},20)$

从B点出发，北偏西 $30°$ 方向：

• x方向（向西为负）：$-30\sin 30°=-15$
• y方向（向北为正）：$30\cos 30°=15\sqrt{3}$

C点坐标：$(20\sqrt{3}-15,20+15\sqrt{3})$

$\approx (34.64-15,20+25.98)=(19.64,45.98)$

距离：$AC=\sqrt{{19.64}^2+{45.98}^2}\approx \sqrt{385.7+2114.2}\approx \sqrt{2500}=50$（千米）

方向：$\tan \theta =\frac{19.64}{45.98}\approx 0.427$，$\theta \approx 23.2°$

答：C点在A港北偏东约 $23.2°$ 方向，距离50千米。

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第三单元 分数除法

【基础题】例题1：计算 $\frac{8}{15}÷\frac{4}{5}$

分析：分数除法转化为分数乘法，除以一个数等于乘这个数的倒数。

解答：

$$\frac{8}{15}÷\frac{4}{5}=\frac{8}{15}\times \frac{5}{4}=\frac{{\cancel{8}}^2}{{\cancel{15}}_3}\times \frac{{\cancel{5}}^1}{{\cancel{4}}_1}=\frac{2}{3}$$

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【基础题】例题2：一个数的 $\frac{3}{5}$ 是45，这个数是多少？

分析：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。单位"1"未知。

解答：

$$45÷\frac{3}{5}=45\times \frac{5}{3}=15\times 5=75$$

答：这个数是75。

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【提高题】例题3：学校图书馆有故事书360本，比科技书的 $\frac{4}{5}$ 多40本。科技书有多少本？（列方程解答）

分析："比科技书的 $\frac{4}{5}$ 多40本"，单位"1"是科技书的数量，未知。设科技书为 $x$ 本，根据题意列方程。

解答：

设科技书有 $x$ 本。

$$\frac{4}{5}x+40=360$$$$\frac{4}{5}x=360-40=320$$$$x=320÷\frac{4}{5}=320\times \frac{5}{4}=400$$

答：科技书有400本。

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【提高题】例题4：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。两队合作，几天可以完成？

分析：工程问题。将工作总量看作"1"，甲队效率为 $\frac{1}{10}$，乙队效率为 $\frac{1}{15}$，合作效率为两队效率之和。

解答：

甲队工作效率：$\frac{1}{10}$

乙队工作效率：$\frac{1}{15}$

两队合作效率：

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$

合作需要的天数：

$$1÷\frac{1}{6}=6$$

（天）

答：两队合作6天可以完成。

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【拓展题】例题5：一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做18天完成。甲队先做3天后，剩下的由两队合作完成，还需要多少天？

分析：先求甲队3天完成的工作量，再求剩余工作量，最后求合作完成剩余工作需要的时间。

解答：

甲队3天完成：$\frac{1}{12}\times 3=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

剩余工作量：$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

两队合作效率：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}$

还需要的天数：

$$\frac{3}{4}÷\frac{5}{36}=\frac{3}{4}\times \frac{36}{5}=\frac{27}{5}=5.4$$

（天）

答：还需要5.4天（或 $\frac{27}{5}$ 天，即5天又 $\frac{2}{5}$ 天）。

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【拓展题】例题6：一桶油，第一次用去全部的 $\frac{1}{3}$，第二次用去余下的 $\frac{2}{5}$，还剩16千克。这桶油原来有多少千克？（用两种方法解答）

方法一：算术法

第一次用去后余下：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

第二次用去余下的 $\frac{2}{5}$，即用去全部的：$\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$

两次共用去：$\frac{1}{3}+\frac{4}{15}=\frac{5}{15}+\frac{4}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

剩余：$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$

原来有油：$16÷\frac{2}{5}=16\times \frac{5}{2}=40$（千克）

方法二：方程法

设原来有油 $x$ 千克。

第一次用去 $\frac{1}{3}x$ 千克，余下 $\frac{2}{3}x$ 千克。

第二次用去 $\frac{2}{3}x\times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}x$ 千克。

$$x-\frac{1}{3}x-\frac{4}{15}x=16$$$$\frac{15x-5x-4x}{15}=16$$$$\frac{6x}{15}=16$$$$x=16\times \frac{15}{6}=16\times \frac{5}{2}=40$$

答：这桶油原来有40千克。

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第四单元 比

【基础题】例题1：把 $\frac{3}{8}:\frac{9}{16}$ 化成最简整数比

分析：分数比化简，可以先乘分母的最小公倍数化为整数比，再约分。

解答：

分母8和16的最小公倍数是16。

$$\frac{3}{8}:\frac{9}{16}=(\frac{3}{8}\times 16):(\frac{9}{16}\times 16)=6:9=2:3$$

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【基础题】例题2：一个三角形的三个内角度数比是 $2:3:4$，这个三角形三个角各是多少度？

分析：三角形内角和为 $180°$，按比分配。

解答：

总份数：$2+3+4=9$

每份：$180°÷9=20°$

三个角分别是：

• $20°\times 2=40°$
• $20°\times 3=60°$
• $20°\times 4=80°$

答：三个角分别是 $40°$、$60°$、$80°$。

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【提高题】例题3：甲、乙两数的比是 $3:4$，乙、丙两数的比是 $5:7$，求甲、乙、丙三个数的连比。

分析：两个比中都有乙数，需要把乙数对应的份数统一成相同的最小公倍数。

解答：

甲 : 乙 $=3:4=15:20$（前后项同时乘5）

乙 : 丙 $=5:7=20:28$（前后项同时乘4）

甲 : 乙 : 丙 $=15:20:28$

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【提高题】例题4：学校把360本图书按人数比分给五年级和六年级，五年级有40人，六年级有50人。两个年级各分到多少本？

分析：按人数比分配，先求总人数，再求各年级占总人数的几分之几。

解答：

五年级与六年级人数比：$40:50=4:5$

总份数：$4+5=9$

五年级分到：$360\times \frac{4}{9}=160$（本）

六年级分到：$360\times \frac{5}{9}=200$（本）

答：五年级分到160本，六年级分到200本。

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【拓展题】例题5：甲、乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽的比是 $3:2$，乙的长与宽的比是 $7:5$。求甲、乙两个长方形的面积比。

分析：周长相等意味着长与宽的和相等。设这个和为一个固定值，分别求出两个长方形的长、宽和面积。

解答：

设两个长方形的长与宽之和都是 $S$（因为周长相等，所以半周长相等）。

甲长方形：

• 长：$S\times \frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}S$
• 宽：$S\times \frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}S$
• 面积：$\frac{3}{5}S\times \frac{2}{5}S=\frac{6}{25}{S}^2$

乙长方形：

• 长：$S\times \frac{7}{7+5}=\frac{7}{12}S$
• 宽：$S\times \frac{5}{7+5}=\frac{5}{12}S$
• 面积：$\frac{7}{12}S\times \frac{5}{12}S=\frac{35}{144}{S}^2$

面积比：

$$\frac{6}{25}{S}^2:\frac{35}{144}{S}^2=\frac{6}{25}:\frac{35}{144}$$$$=\frac{6}{25}\times \frac{144}{35}=\frac{864}{875}=864:875$$

答：甲、乙两个长方形的面积比是 $864:875$。

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第五单元 圆（重点单元）

【基础题】例题1：一个圆形花坛的半径是5米，它的周长和面积各是多少？

分析：直接应用圆的周长公式和面积公式。

解答：

周长：$C=2\pi r=2\times 3.14\times 5=31.4$（米）

面积：$S=\pi r^2=3.14\times 5^2=3.14\times 25=78.5$（平方米）

答：周长是31.4米，面积是78.5平方米。

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【基础题】例题2：一个圆形水池的周长是62.8米，这个水池的半径是多少米？面积是多少平方米？

分析：已知周长求半径，先用 $r=C÷(2\pi )$ 求半径，再求面积。

解答：

半径：$r=62.8÷(2\times 3.14)=62.8÷6.28=10$（米）

面积：$S=3.14\times {10}^2=314$（平方米）

答：半径是10米，面积是314平方米。

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【提高题】例题3：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）——外方内圆，正方形边长为8厘米

分析：外方内圆，阴影部分是正方形减去内切圆。正方形边长等于圆的直径。

解答：

正方形面积：$8\times 8=64$（平方厘米）

圆的半径：$8÷2=4$（厘米）

圆的面积：$3.14\times 4^2=50.24$（平方厘米）

阴影面积：$64-50.24=13.76$（平方厘米）

答：阴影部分的面积是13.76平方厘米。

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【提高题】例题4：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）——外圆内方，圆的半径为6厘米

分析：外圆内方，阴影部分是圆减去正方形。圆的直径等于正方形的对角线。

解答：

圆的面积：$S_{\mathrm{圆}}=3.14\times 6^2=113.04$（平方厘米）

正方形对角线 $d=2\times 6=12$（厘米）

正方形面积（利用对角线）：

$$S_{\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}}=\frac{1}{2}\times d^2=\frac{1}{2}\times {12}^2=\frac{144}{2}=72$$

（平方厘米）

或用另一种理解：正方形由两个全等的等腰直角三角形组成，每个三角形底为12，高为6。

$$S_{\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}}=2\times \frac{1}{2}\times 12\times 6=72$$

（平方厘米）

阴影面积：$113.04-72=41.04$（平方厘米）

答：阴影部分的面积是41.04平方厘米。

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【提高题】例题5：一个半圆形花坛，直径是10米。如果要给这个花坛围上篱笆，篱笆长多少米？（$\pi$ 取3.14）

分析：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径。注意：不是圆周长的一半！

解答：

圆周长的一半：$3.14\times 10÷2=15.7$（米）

篱笆长：$15.7+10=25.7$（米）

答：篱笆长25.7米。

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【拓展题】例题6：下图中大圆的半径等于小圆的直径，大圆面积比小圆面积大84.78平方厘米。求大圆和小圆的面积。（$\pi$ 取3.14）

分析：设小圆半径为 $r$，则大圆半径为 $2r$。利用面积差列方程。

解答：

设小圆半径为 $r$，则大圆半径 $R=2r$。

大圆面积：$S_{\mathrm{大}}=\pi (2r{)}^2=4\pi r^2$

小圆面积：$S_{\mathrm{小}}=\pi r^2$

面积差：$4\pi r^2-\pi r^2=3\pi r^2=84.78$

$$r^2=84.78÷(3\times 3.14)=84.78÷9.42=9$$$$r=3$$

（厘米）

小圆面积：$S_{\mathrm{小}}=3.14\times 3^2=28.26$（平方厘米）

大圆面积：$S_{\mathrm{大}}=4\times 28.26=113.04$（平方厘米）

答：大圆面积113.04平方厘米，小圆面积28.26平方厘米。

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【拓展题】例题7：如图，正方形的边长为8厘米，以正方形的四个顶点为圆心，边长的一半为半径，在正方形内画四个四分之一圆。求阴影部分（四个扇形重叠外的区域或被覆盖的区域）的面积。（$\pi$ 取3.14）

分析：这是经典的花瓣图形问题。四个四分之一圆（半径为4厘米）在正方形内，求四个扇形覆盖的区域或花瓣区域。

解答：

以四个顶点为圆心，半径 $r=8÷2=4$ 厘米画四个四分之一圆。

四个四分之一圆的面积之和 = 一个整圆的面积：

$$S_{\mathrm{扇}\mathrm{形}\mathrm{总}}=4\times \frac{1}{4}\times \pi \times 4^2=16\pi =50.24$$

（平方厘米）

正方形面积：$S_{\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}}=8\times 8=64$（平方厘米）

花瓣面积（四个扇形重叠部分，即中间被重复计算的部分）：

利用容斥原理，四个扇形覆盖的总面积（去重后）不超过正方形面积。

设花瓣区域（中间四叶花形）的面积为 $S_{\mathrm{花}\mathrm{瓣}}$。

四个扇形面积之和 = 正方形面积 + 花瓣面积 （因为花瓣区域被两个扇形各覆盖一次，多算了一次）

$$50.24=64+S_{\mathrm{花}\mathrm{瓣}}-(\text{正方形中未被覆盖的部分})$$

换一种思路：花瓣面积 = 四个半叶的面积

一个"花瓣叶"的面积 = 两个四分之一圆的交集部分 - 三角形

或者用公式：花瓣面积 $=2\times \text{圆面积}-\text{正方形面积}$（当圆的直径等于正方形边长时）

这里每个"花瓣叶"可以看作是两个扇形重叠减去正方形的部分。

实际上，标准解法：

阴影花瓣面积 $=(\frac{1}{4}\times \pi \times 4^2-\frac{1}{2}\times 4\times 4)\times 8$

$=(12.56-8)\times 8$

不对，重新计算：

一个弓形的面积 = 扇形面积 - 三角形面积

$=\frac{1}{4}\times 3.14\times 16-\frac{1}{2}\times 4\times 4$

$=12.56-8=4.56$（平方厘米）

花瓣由8个这样的弓形组成，所以：

花瓣面积 $=8\times 4.56=36.48$（平方厘米）

答：花瓣区域的面积是36.48平方厘米。

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【拓展题】例题8：一个圆环，外圆周长是37.68厘米，内圆周长是18.84厘米。求圆环的面积。（$\pi$ 取3.14）

分析：先由周长求出外圆和内圆的半径，再用圆环面积公式 $S=\pi (R^2-r^2)$。

解答：

外圆半径：$R=37.68÷(2\times 3.14)=37.68÷6.28=6$（厘米）

内圆半径：$r=18.84÷(2\times 3.14)=18.84÷6.28=3$（厘米）

圆环面积：

$$S=\pi (R^2-r^2)=3.14\times (6^2-3^2)=3.14\times (36-9)=3.14\times 27=84.78$$

（平方厘米）

答：圆环的面积是84.78平方厘米。

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第六单元 百分数（一）

【基础题】例题1：把 $\frac{3}{5}$、0.45、75% 按从大到小的顺序排列。

分析：先统一化成小数或百分数，再比较大小。

解答：

$\frac{3}{5}=0.6=60\mathrm{\%}$

$0.45=45\mathrm{\%}$

$75\mathrm{\%}=0.75$

比较：$0.75>0.6>0.45$

所以从大到小排列：$75\mathrm{\%}>\frac{3}{5}>0.45$

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【基础题】例题2：六年级（1）班今天到校48人，请假2人。今天的出勤率是多少？

分析：出勤率 = 出勤人数 \div 总人数 \times 100%

解答：

总人数：$48+2=50$（人）

出勤率：$\frac{48}{50}\times 100\mathrm{\%}=0.96\times 100\mathrm{\%}=96\mathrm{\%}$

答：今天的出勤率是96%。

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【提高题】例题3：一件商品原价200元，先涨价20%，再降价20%，现在的价格是多少元？比原价高还是低？

分析：注意两次变化的单位"1"不同。涨价20%的单位"1"是原价200元；降价20%的单位"1"是涨价后的价格。

解答：

涨价后价格：$200\times (1+20\mathrm{\%})=200\times 1.2=240$（元）

降价后价格：$240\times (1-20\mathrm{\%})=240\times 0.8=192$（元）

比较：$192<200$，比原价低。

低了：$200-192=8$（元）

答：现在价格是192元，比原价低了8元。

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【提高题】例题4：某工厂今年生产电视机1200台，比去年多生产20%。去年生产电视机多少台？（列方程解答）

分析："比去年多生产20%"，单位"1"是去年的产量，未知。设去年生产 $x$ 台。

解答：

设去年生产电视机 $x$ 台。

$$x\times (1+20\mathrm{\%})=1200$$$$1.2x=1200$$$$x=1200÷1.2=1000$$

答：去年生产电视机1000台。

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【拓展题】例题5：有一杯盐水，盐占盐水的20%，加入20克盐后，盐占盐水的25%。原来盐水有多少克？

分析：关键在于水的质量没有变化。可以抓住不变量"水"来列方程。

解答：

设原来盐水有 $x$ 克。

原来盐的质量：$20\mathrm{\%}x=0.2x$（克）

原来水的质量：$x-0.2x=0.8x$（克）

加入20克盐后，盐的总质量：$(0.2x+20)$ 克

盐水总质量：$(x+20)$ 克

此时盐占25%，则水占75%：

$$0.8x=(x+20)\times 75\mathrm{\%}$$$$0.8x=0.75x+15$$$$0.05x=15$$$$x=300$$

答：原来盐水有300克。

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【拓展题】例题6：甲、乙两个仓库共存粮360吨，从甲仓取出20%，从乙仓取出25%，共取出78吨。甲、乙两仓原来各存粮多少吨？

分析：设甲仓原有 $x$ 吨，则乙仓原有 $(360-x)$ 吨。根据取出的总量列方程。

解答：

设甲仓原来存粮 $x$ 吨，则乙仓原来存粮 $(360-x)$ 吨。

$$20\mathrm{\%}x+25\mathrm{\%}(360-x)=78$$$$0.2x+90-0.25x=78$$$$-0.05x=78-90$$$$-0.05x=-12$$$$x=240$$

乙仓：$360-240=120$（吨）

答：甲仓原来存粮240吨，乙仓原来存粮120吨。

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第七单元 扇形统计图

【基础题】例题1：下图是六（1）班同学最喜欢的运动项目统计图（扇形统计图）。已知喜欢足球的占20%，喜欢篮球的占25%，喜欢羽毛球的有8人，占20%。求全班的总人数，以及喜欢乒乓球的人数（乒乓球占30%）。

分析：已知部分量和对应的百分比，可以求出总量。再用总量乘以各部分百分比求其他部分。

解答：

全班人数：$8÷20\mathrm{\%}=8÷0.2=40$（人）

喜欢乒乓球的人数：$40\times 30\mathrm{\%}=12$（人）

答：全班有40人，喜欢乒乓球的有12人。

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【提高题】例题2：某农场种植三种作物，小麦占60%，玉米占25%，大豆占15%。已知小麦比玉米多种70公顷，求这个农场一共种植了多少公顷？三种作物各种了多少公顷？

分析：先求小麦比玉米多占的百分比，再对应多种的70公顷求总面积。

解答：

小麦比玉米多占：$60\mathrm{\%}-25\mathrm{\%}=35\mathrm{\%}$

总面积：$70÷35\mathrm{\%}=70÷0.35=200$（公顷）

小麦：$200\times 60\mathrm{\%}=120$（公顷）

玉米：$200\times 25\mathrm{\%}=50$（公顷）

大豆：$200\times 15\mathrm{\%}=30$（公顷）

答：农场一共种植200公顷。小麦120公顷，玉米50公顷，大豆30公顷。

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**【提高题】例题3：某学校对六年级学生最喜欢的课外活动进行了调查，结果如下图（扇形统计图）。其中喜欢阅读的有60人，占总人数的15%，喜欢体育运动的占35%，喜欢绘画的占20%，其他的占30%。

（1）六年级一共有多少人？ （2）喜欢体育运动的比喜欢绘画的多多少人？ （3）你认为选择哪种统计图表示这些数据更合适？为什么？**

解答：

（1）总人数：$60÷15\mathrm{\%}=400$（人）

（2）喜欢体育运动：$400\times 35\mathrm{\%}=140$（人）

喜欢绘画：$400\times 20\mathrm{\%}=80$（人）

多：$140-80=60$（人）

（3）答：选择扇形统计图最合适，因为扇形统计图能清楚地表示各部分数量与总数之间的百分比关系。

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第八单元 数学广角——数与形

【基础题】例题1：观察下图规律，第10个图形有多少个小正方形？

图形序号	1	2	3	4	...
小正方形个数	1	4	9	16	...

分析：观察发现第 $n$ 个图形有 $n^2$ 个小正方形。

解答：第 $n$ 个图形有 $n^2$ 个小正方形。

第10个图形有：${10}^2=100$（个）

答：第10个图形有100个小正方形。

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【提高题】例题2：计算 $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

分析：从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方。这里有10个奇数。

解答：

项数：$(19+1)÷2=10$（项）

$$1+3+5+\cdots +19={10}^2=100$$

答：和为100。

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【提高题】例题3：计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$

分析：利用数形结合的思想，或者等比数列求和公式。

解答：

设 $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$

两边乘2：

$$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$$

两式相减：

$$2S-S=1-\frac{1}{64}$$$$S=\frac{63}{64}$$

或者用图形理解：把一个面积为1的正方形不断对半分，所有部分加起来无限接近1。

答：和为 $\frac{63}{64}$。

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【拓展题】例题4：下图是用小棒摆成的三角形图案。摆第1个图形用3根小棒，摆第2个图形用9根小棒，摆第3个图形用18根小棒。摆第10个图形需要多少根小棒？

分析：寻找规律。第 $n$ 个图形是由 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个小三角形组成（即正三角形数），每个小三角形需要3根小棒，但内部小棒被两个三角形共用。

解答：

观察规律：

• 第1个：3根
• 第2个：9根
• 第3个：18根

差值：$9-3=6$，$18-9=9$

二次差：$9-6=3$，说明是二次关系。

设第 $n$ 个图形需要 $a{n}^2+bn+c$ 根小棒。

代入：

• $n=1$：$a+b+c=3$
• $n=2$：$4a+2b+c=9$
• $n=3$：$9a+3b+c=18$

解得：$a=\frac{3}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，$c=0$

所以：$f(n)=\frac{3n(n+1)}{2}$

验证：

• $f(1)=\frac{3\times 1\times 2}{2}=3$ ✓
• $f(2)=\frac{3\times 2\times 3}{2}=9$ ✓
• $f(3)=\frac{3\times 3\times 4}{2}=18$ ✓

第10个图形：

$$f(10)=\frac{3\times 10\times 11}{2}=\frac{330}{2}=165$$

（根）

答：摆第10个图形需要165根小棒。

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【拓展题】例题5：观察下列等式，找出规律并写出第n个等式。

$$1^3=1^2$$$$1^3+2^3=(1+2{)}^2=3^2$$$$1^3+2^3+3^3=(1+2+3{)}^2=6^2$$$$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4{)}^2={10}^2$$

分析：从1开始的连续自然数的立方和等于这些自然数之和的平方。

解答：

规律：$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=(1+2+3+\cdots +n{)}^2$

又因为 $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

所以：

$$\text{1^3 + 2^3 + 3^3 + cdots + n^3 = left[frac{n(n+1)}{2}right]^2 = frac{n^2(n+1)^2}{4}\$\$+1)^2}{4}}$$

验证 $n=5$：

$$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=1+8+27+64+125=225$$$$\left[\frac{5 \times 6}{2}\right]^2 = 15^2 = 225$$ ✓ --- ## 四、期末综合复习题 ### 一、选择题（每题2分，共20分） **1.** 一个数（0除外）除以 $\frac{1}{5}$，这个数就（　　） A. 缩小到原来的 $\frac{1}{5}$　　　B. 扩大到原来的5倍 C. 不变　　　　　　　　　　D. 扩大到原来的 $\frac{1}{5}$ 倍 --- **2.** 两根同样长的绳子，第一根剪去 $\frac{1}{3}$，第二根剪去 $\frac{1}{3}$ 米，剩下的（　　） A. 第一根长　　B. 第二根长　　C. 一样长　　D. 无法比较 --- **3.** 在一个边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（　　） A. $\frac{\pi}{4}$　　　B. $\frac{1}{4}$　　　C. $\pi$　　　D. $\frac{4}{\pi}$ --- **4.** 甲数是乙数的 $\frac{4}{5}$，乙数比甲数多（　　） A. 20\%　　　B. 25\%　　　C. 80\%　　　D. 125\% --- **5.** 一件商品先涨价10\%，再降价10\%，现价与原价相比（　　） A. 提高了　　B. 降低了　　C. 不变　　D. 无法确定 --- **6.** 一个圆的半径扩大到原来的3倍，则面积扩大到原来的（　　） A. 3倍　　　B. 6倍　　　C. 9倍　　　D. $3\pi$ 倍 --- **7.** 在 $\frac{5}{8}$、0.62、6.2\%、$\frac{2}{3}$ 中，最大的数是（　　） A. $\frac{5}{8}$　　　B. 0.62　　　C. 6.2\%　　　D. $\frac{2}{3}$ --- **8.** 把20克盐溶解在80克水中，盐水的含盐率是（　　） A. 20\%　　　B. 25\%　　　C. 80\%　　　D. 40\% --- **9.** 甲、乙两人同时从A地到B地，甲用5小时，乙用4小时。甲、乙两人的速度比是（　　） A. $5:4$　　　B. $4:5$　　　C. $\frac{1}{5}:\frac{1}{4}$　　　D. 无法确定 --- **10.** 一个半圆的半径是 $r$，它的周长是（　　） A. $\pi r$　　　B. $\pi r + r$　　　C. $(\pi + 2)r$　　　D. $2\pi r$ --- ### 二、填空题（每空2分，共20分） **1.** $\frac{3}{4}$ 的倒数是______；0.25的倒数是______。 --- **2.** ______ $\div 20 = \frac{3}{4}$ = ______ \% = ______（填小数）= ______ : ______ --- **3.** 一个圆的直径是8厘米，它的周长是______厘米，面积是______平方厘米。（$\pi$ 取3.14） --- **4.** 把 $\frac{3}{4} : \frac{9}{16}$ 化成最简整数比是______，比值是______。 --- **5.** 20千克的 $\frac{3}{5}$ 是______千克；______米的 $\frac{2}{3}$ 是40米。 --- **6.** 六年级（2）班今天出勤49人，缺勤1人，今天的出勤率是______。 --- **7.** 一个圆的周长是31.4厘米，这个圆的半径是______厘米，面积是______平方厘米。 --- **8.** 甲数比乙数多25\%，乙数比甲数少______\%。 --- **9.** 大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的______倍，大圆面积是小圆面积的______倍。 --- **10.** 观察规律填空：$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{5}{8}$、$\frac{7}{16}$、______、______。 --- ### 三、计算题（共32分） **1.** 直接写出得数。（8分） （1）$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} =$ ______ （2）$\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} =$ ______ （3）$12 \times \frac{5}{6} =$ ______ （4）$\frac{7}{8} \div 14 =$ ______ （5）$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} =$ ______ （6）$2.5 \times \frac{4}{5} =$ ______ （7）$\frac{9}{10} \div \frac{3}{5} =$ ______ （8）$1 - 20\% =$ ______ --- **2.** 用简便方法计算。（12分） （1）$\frac{8}{9} \times \frac{3}{4} \div \frac{8}{9} \times \frac{3}{4}$ （2）$\frac{7}{13} \times \frac{5}{11} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{11}$ （3）$87 \times \frac{3}{86}$ （4）$\frac{5}{6} \times 24 + \frac{3}{8} \times 24$ --- **3.** 解方程。（12分） （1）$\frac{3}{4}x = \frac{9}{16}$ （2）$x - 25\%x = 45$ （3）$\frac{2}{3}x + \frac{1}{4} = \frac{11}{12}$ （4）$x \times \left(1 + \frac{1}{5}\right) = 72$ --- ### 四、解决问题（共36分） **1.** 一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的 $\frac{3}{5}$，距离乙地还有120千米。甲乙两地相距多少千米？（6分） --- **2.** 一个圆形花坛的周长是25.12米，在花坛周围修一条宽1米的环形小路。这条小路的面积是多少平方米？（$\pi$ 取3.14）（6分） --- **3.** 学校图书馆有科技书280本，比故事书的 $\frac{4}{5}$ 少40本。故事书有多少本？（列方程解答）（6分） --- **4.** 配制一种药水，药液和水的体积比是 $1:500$。要配制这样的药水10020毫升，需要药液和水各多少毫升？（6分） --- **5.** 一件商品，按20\%的利润定价，然后打八折出售，结果亏了40元。这件商品的成本是多少元？（6分） --- **6.** 如下图，正方形的边长为10厘米，以正方形的四个顶点为圆心，以正方形边长的一半为半径，在正方形内画四个四分之一圆。求四个扇形重叠部分（花瓣区域）的面积。（$\pi$ 取3.14）（6分） --- ### 五、拓展提高题（共12分） **1.** 计算：$\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3} + \frac{1}{3\times 4} + \cdots + \frac{1}{99\times 100}$（4分） --- **2.** 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要30天完成。两队合作，中途甲队休息了3天，乙队休息了若干天，一共用了16天完成。乙队休息了多少天？（4分） --- **3.** 如图所示，长方形ABCD的长AB = 10厘米，宽BC = 6厘米。以A为圆心，AD为半径画弧；以C为圆心，CD为半径画弧。两条弧交于长方形内部一点E。求阴影部分（由两条弧和边BD围成的区域）的面积。（$\pi$ 取3.14）（4分） --- ## 五、参考答案与解析 --- ### 一、选择题答案与解析 **1. 答案：B** 解析：一个数除以 $\frac{1}{5}$ 等于这个数乘5，即扩大到原来的5倍。 --- **2. 答案：D** 解析：因为绳子的原长未知。如果绳子长1米，第一根剩下 $\frac{2}{3}$ 米，第二根剩下 $\frac{2}{3}$ 米，一样长；如果绳子长大于1米，第一根剩下的长；如果绳子长小于1米，第二根剩下的长。所以无法比较。 --- **3. 答案：A** 解析：正方形边长4厘米，圆直径4厘米，半径2厘米。 圆的面积：$\pi \times 2^2 = 4\pi$（平方厘米） 正方形面积：$4 \times 4 = 16$（平方厘米） 比值：$\frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$ --- **4. 答案：B** 解析：设乙数为5，则甲数为4。乙数比甲数多 $(5-4) \div 4 = 1 \div 4 = 25\%$。 --- **5. 答案：B** 解析：设原价为 $a$，则现价为 $a \times (1+10\%) \times (1-10\%) = a \times 1.1 \times 0.9 = 0.99a < a$，所以降低了。 --- **6. 答案：C** 解析：$S = \pi r^2$，半径扩大3倍，面积扩大 $3^2 = 9$ 倍。 --- **7. 答案：D** 解析：$\frac{5}{8} = 0.625$，0.62 = 0.62，6.2\% = 0.062，$\frac{2}{3} \approx 0.667$。最大的是 $\frac{2}{3}$。 --- **8. 答案：A** 解析：含盐率 $= \frac{20}{20+80} \times 100\% = \frac{20}{100} \times 100\% = 20\%$。 --- **9. 答案：B** 解析：路程相同，速度与时间成反比。甲、乙时间比是 $5:4$，所以速度比是 $4:5$。 --- **10. 答案：C** 解析：半圆的周长 = 半圆弧长 + 直径 $= \pi r + 2r = (\pi + 2)r$。注意半圆周长要加直径！ --- ### 二、填空题答案与解析 **1.** $\frac{4}{3}$；4 解析：$\frac{3}{4}$ 的倒数是 $\frac{4}{3}$；$0.25 = \frac{1}{4}$，倒数是4。 --- **2.** 15；75；0.75；3；4 解析：$20 \times \frac{3}{4} = 15$；$\frac{3}{4} = 0.75 = 75\% = 3:4$。 --- **3.** 25.12；50.24 解析：周长 $C = 3.14 \times 8 = 25.12$（厘米） 面积 $S = 3.14 \times 4^2 = 3.14 \times 16 = 50.24$（平方厘米） --- **4.** $4:3$；$\frac{4}{3}$ 解析：$\frac{3}{4} : \frac{9}{16} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{4}{3} = 4:3$，比值 $\frac{4}{3}$。 --- **5.** 12；60 解析：$20 \times \frac{3}{5} = 12$（千克）；$40 \div \frac{2}{3} = 40 \times \frac{3}{2} = 60$（米）。 --- **6.** 98\% 解析：出勤率 $= \frac{49}{49+1} \times 100\% = \frac{49}{50} \times 100\% = 98\%$。 --- **7.** 5；78.5 解析：半径 $r = 31.4 \div (2 \times 3.14) = 5$（厘米） 面积 $S = 3.14 \times 5^2 = 78.5$（平方厘米） --- **8.** 20 解析：设乙数为100，则甲数为 $100 \times (1+25\%) = 125$。 乙数比甲数少：$(125-100) \div 125 = 25 \div 125 = 20\%$。 --- **9.** 2；4 解析：$C = 2\pi r$，半径扩大2倍，周长扩大2倍。 $S = \pi r^2$，半径扩大2倍，面积扩大 $2^2 = 4$ 倍。 --- **10.** $\frac{9}{32}$；$\frac{11}{64}$ 解析：分子是连续的奇数：1、3、5、7、**9**、**11** 分母是 $2^1$、$2^2$、$2^3$、$2^4$、$2^5$、$2^6$，即2、4、8、16、**32**、**64** --- ### 三、计算题答案与解析 **1. 直接写出得数** （1）$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{2}{3}$ （2）$\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{4}$ （3）$12 \times \frac{5}{6} = 10$ （4）$\frac{7}{8} \div 14 = \frac{7}{8} \times \frac{1}{14} = \frac{1}{16}$ （5）$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ （6）$2.5 \times \frac{4}{5} = 2.5 \times 0.8 = 2$ （7）$\frac{9}{10} \div \frac{3}{5} = \frac{9}{10} \times \frac{5}{3} = \frac{3}{2}$ （8）$1 - 20\% = 80\% = 0.8$ --- **2. 用简便方法计算** （1）$\frac{8}{9} \times \frac{3}{4} \div \frac{8}{9} \times \frac{3}{4}$ $= \frac{8}{9} \div \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4}$ $= 1 \times \frac{9}{16} = \frac{9}{16}$ --- （2）$\frac{7}{13} \times \frac{5}{11} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{11}$ $= \frac{5}{13} \times \frac{7}{11} + \frac{5}{13} \times \frac{4}{11}$ $= \frac{5}{13} \times \left(\frac{7}{11} + \frac{4}{11}\right)$ $= \frac{5}{13} \times 1 = \frac{5}{13}$ --- （3）$87 \times \frac{3}{86}$ $= (86 + 1) \times \frac{3}{86}$ $= 86 \times \frac{3}{86} + 1 \times \frac{3}{86}$ $= 3 + \frac{3}{86} = 3\frac{3}{86}$ --- （4）$\frac{5}{6} \times 24 + \frac{3}{8} \times 24$ $= 20 + 9 = 29$ 或者：$= \left(\frac{5}{6} + \frac{3}{8}\right) \times 24 = \left(\frac{20}{24} + \frac{9}{24}\right) \times 24 = \frac{29}{24} \times 24 = 29$ --- **3. 解方程** （1）$\frac{3}{4}x = \frac{9}{16}$ 解：$x = \frac{9}{16} \div \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{3}{4}$ --- （2）$x - 25\%x = 45$ 解：$0.75x = 45$ $x = 45 \div 0.75 = 60$ --- （3）$\frac{2}{3}x + \frac{1}{4} = \frac{11}{12}$ 解：$\frac{2}{3}x = \frac{11}{12} - \frac{1}{4} = \frac{11}{12} - \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ $x = \frac{2}{3} \div \frac{2}{3} = 1$ --- （4）$x \times \left(1 + \frac{1}{5}\right) = 72$ 解：$\frac{6}{5}x = 72$ $x = 72 \times \frac{5}{6} = 60$ --- ### 四、解决问题答案与解析 **1.** **分析**：已经行驶了全程的 $\frac{3}{5}$，则还剩全程的 $\frac{2}{5}$，对应120千米。 **解答**： 还剩全程的：$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ 全程：$120 \div \frac{2}{5} = 120 \times \frac{5}{2} = 300$（千米） 答：甲乙两地相距300千米。 --- **2.** **分析**：先由花坛周长求出花坛半径（内圆半径），小路宽1米，则外圆半径 = 内圆半径 + 1。 **解答**： 花坛半径：$r = 25.12 \div (2 \times 3.14) = 4$（米） 外圆半径：$R = 4 + 1 = 5$（米） 小路面积（圆环面积）： $S = 3.14 \times (5^2 - 4^2) = 3.14 \times (25 - 16) = 3.14 \times 9 = 28.26$（平方米） 答：小路的面积是28.26平方米。 --- **3.** **分析**："比故事书的 $\frac{4}{5}$ 少40本"，设故事书有 $x$ 本，则科技书 = 故事书的 $\frac{4}{5}$ - 40。 **解答**： 设故事书有 $x$ 本。 $$\frac{4}{5}x - 40 = 280$$$$\frac{4}{5}x=320$$$$x=320÷\frac{4}{5}=320\times \frac{5}{4}=400$$

答：故事书有400本。

---

4.

分析：药液和水的比是 $1:500$，则总份数是 $1+500=501$ 份。

解答：

总份数：$1+500=501$

药液：$10020\times \frac{1}{501}=20$（毫升）

水：$10020\times \frac{500}{501}=10000$（毫升）

或：$10020-20=10000$（毫升）

答：需要药液20毫升，水10000毫升。

---

5.

分析：设成本为 $x$ 元。按20%利润定价，则定价为 $x(1+20\mathrm{\%})=1.2x$。打八折出售，售价为 $1.2x\times 80\mathrm{\%}=0.96x$。亏了40元，说明售价比成本少40元。

解答：

设定价为 $x(1+20\mathrm{\%})=1.2x$

售价：$1.2x\times 0.8=0.96x$

根据题意：$x-0.96x=40$

$$0.04x=40$$$$x=1000$$

答：这件商品的成本是1000元。

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6.

分析：这是经典的花瓣问题。正方形边长10厘米，四分之一圆半径 $r=5$ 厘米。花瓣面积 = 四个半圆的面积和 - 正方形面积 = 2个整圆面积 - 正方形面积。或者用容斥原理：花瓣面积 = 四个扇形面积之和 - 正方形面积 $\times$ 重复次数。

解答：

正方形面积：$S_{\mathrm{正}}=10\times 10=100$（平方厘米）

四个四分之一圆的面积之和 = 一个整圆的面积：

$S_{\mathrm{圆}}=3.14\times 5^2=78.5$（平方厘米）

设花瓣面积为 $S_{\mathrm{花}\mathrm{瓣}}$（即重叠部分面积）。

四个扇形覆盖正方形，利用容斥原理：

四个扇形面积之和 = 正方形面积 + 花瓣面积

（花瓣区域被计算了两次，正方形其他区域被计算了一次）

$$4\times \frac{1}{4}\times 3.14\times 25=100+S_{\mathrm{花}\mathrm{瓣}}-(\text{未覆盖区域})$$

换一种标准解法：

一个"花瓣叶"由两个弓形组成。

一个弓形的面积 = 扇形面积 - 三角形面积

$=\frac{1}{4}\times 3.14\times 25-\frac{1}{2}\times 5\times 5$

$=19.625-12.5=7.125$（平方厘米）

一个"花瓣叶"（由两个弓形组成，对称的）：

实际上，四个扇形在正方形内部的重叠形成了4个"花瓣叶"状区域，中心对称。

花瓣总面积 = 4个扇形面积之和 - 正方形面积

不对，应该是：花瓣面积 = $2\times S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{正}}$（当圆的直径等于正方形边长时，这是标准公式）

验证：$2\times 78.5-100=157-100=57$（平方厘米）

答：花瓣区域的面积是57平方厘米。

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五、拓展提高题答案与解析

1.

分析：利用裂项相消法。$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

解答：

$$\mathrm{原}\mathrm{式}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$$

中间各项相互抵消：

$$=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$$

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2.

分析：工程问题。甲队休息了3天，实际工作了 $16-3=13$ 天。设乙队休息了 $x$ 天，则乙队工作了 $(16-x)$ 天。

解答：

甲队工作效率：$\frac{1}{20}$，乙队工作效率：$\frac{1}{30}$

甲队工作量：$\frac{1}{20}\times (16-3)=\frac{13}{20}$

设乙队休息了 $x$ 天，则乙队工作量：$\frac{1}{30}\times (16-x)$

$$\frac{13}{20}+\frac{16-x}{30}=1$$

通分：$\frac{39}{60}+\frac{2(16-x)}{60}=1$

$$39+32-2x=60$$$$71-2x=60$$$$2x=11$$$$x=5.5$$

答：乙队休息了5.5天。

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3.

分析：以A为圆心，AD = 6厘米为半径画弧；以C为圆心，CD = 10厘米为半径画弧。阴影部分面积 = 长方形面积 - 两个扇形未覆盖区域的面积。或者用：阴影面积 = 扇形DAE的面积 + 扇形DCE的面积 - 长方形面积。

解答：

以A为圆心，AD = 6为半径的扇形（$\frac{1}{4}$ 圆）：

$S_1=\frac{1}{4}\times 3.14\times 6^2=\frac{1}{4}\times 3.14\times 36=28.26$（平方厘米）

以C为圆心，CD = 10为半径的扇形（$\frac{1}{4}$ 圆）：

$S_2=\frac{1}{4}\times 3.14\times {10}^2=\frac{1}{4}\times 3.14\times 100=78.5$（平方厘米）

长方形面积：$S_{\mathrm{长}\mathrm{方}\mathrm{形}}=10\times 6=60$（平方厘米）

阴影部分面积 = 两个扇形面积之和 - 长方形面积

（因为两个扇形覆盖了长方形，重叠部分就是阴影区域，用容斥原理）

$$S_{\mathrm{阴}\mathrm{影}}=S_1+S_2-S_{\mathrm{长}\mathrm{方}\mathrm{形}}=28.26+78.5-60=46.76$$

（平方厘米）

答：阴影部分的面积是46.76平方厘米。

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附录：常用数学公式汇总

分数运算

• 分数乘法：$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
• 分数除法：$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

圆的公式

• 周长：$C=2\pi r=\pi d$
• 面积：$S=\pi r^2$
• 圆环面积：$S=\pi (R^2-r^2)$
• 半圆周长：$C=(\pi +2)r$（注意加直径！）

百分数

• 求百分率：$\frac{\mathrm{部}\mathrm{分}}{\mathrm{整}\mathrm{体}}\times 100\mathrm{\%}$
• 求一个数比另一个数多（少）百分之几：$\frac{\mathrm{差}}{\mathrm{单}\mathrm{位}"1"\mathrm{的}\mathrm{量}}\times 100\mathrm{\%}$

比

• 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
• 按比分配：先求总份数，再求各部分占总量的几分之几