人教版初中九年级上册数学·全册学习资料

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一、本册知识大纲

第二十一章 一元二次方程

• 21.1 一元二次方程的概念
• 21.2 解一元二次方程（配方法、公式法、因式分解法）
• 21.3 一元二次方程根的判别式
• 21.4 韦达定理（根与系数的关系）
• 21.5 一元二次方程的实际应用

第二十二章 二次函数

• 22.1 二次函数的概念与图像
• 22.2 二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图像与性质
• 22.3 用待定系数法求二次函数解析式
• 22.4 二次函数与一元二次方程的关系
• 22.5 二次函数的实际应用（最值问题）

第二十三章 旋转

• 23.1 图形的旋转（旋转中心、旋转角）
• 23.2 中心对称与中心对称图形
• 23.3 关于原点对称的点的坐标

第二十四章 圆

• 24.1 圆的基本概念（弦、弧、圆心角、圆周角）
• 24.2 垂径定理及其推论
• 24.3 弧、弦、圆心角的关系
• 24.4 圆周角定理及其推论
• 24.5 点和圆的位置关系
• 24.6 直线和圆的位置关系（切线判定与性质）
• 24.7 三角形的外接圆与内切圆
• 24.8 正多边形和圆
• 24.9 弧长和扇形面积

第二十五章 概率初步

• 25.1 随机事件与概率
• 25.2 用列举法求概率（列表法、树状图法）
• 25.3 用频率估计概率

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二、各单元重要考点详解

第二十一章 一元二次方程

考点1：一元二次方程的定义

• 标准形式：$a{x}^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$
• 必须满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2

考点2：一元二次方程的解法

方法	适用条件	关键步骤
直接开平方法	$(x+m{)}^2=n$ $(n\ge 0)$	两边开平方
配方法	所有方程	配方成完全平方式
公式法	所有方程	$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
因式分解法	可分解的方程	化为两个一次因式乘积

考点3：根的判别式 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

• $\mathrm{\Delta }>0$：两个不相等的实数根
• $\mathrm{\Delta }=0$：两个相等的实数根
• $\mathrm{\Delta }<0$：无实数根

考点4：韦达定理 若 $x_1,x_2$ 是 $a{x}^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ 的两根，则：

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

常用变形公式：

• $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=-\frac{b}{c}$
• $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}$
• $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=\frac{b^2-4ac}{a^2}$

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第二十二章 二次函数

考点1：二次函数图像特征

形式	开口方向	对称轴	顶点坐标
$y=a{x}^2$	$a>0$向上, $a<0$向下	$x=0$ (y轴)	$(0,0)$
$y=a{x}^2+k$	同上	$x=0$ (y轴)	$(0,k)$
$y=a(x-h{)}^2$	同上	$x=h$	$(h,0)$
$y=a(x-h{)}^2+k$	同上	$x=h$	$(h,k)$
$y=a{x}^2+bx+c$	同上	$x=-\frac{b}{2a}$	$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

考点2：二次函数与一元二次方程

• 二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图像与 $x$ 轴交点的横坐标，即方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根
• 交点个数由判别式 $\mathrm{\Delta }$ 决定

考点3：二次函数最值应用

• 实际问题中先建立函数关系式，注意自变量取值范围
• 在顶点处取得最值（需验证顶点是否在取值范围内）

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第二十三章 旋转

考点1：旋转的三要素

• 旋转中心、旋转方向、旋转角

考点2：旋转的性质

• 对应点到旋转中心的距离相等
• 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
• 旋转前后的图形全等

考点3：中心对称

• 中心对称图形绕对称中心旋转 $180°$ 后与自身重合
• 关于原点对称的点：$P(x,y)$ 的对称点为 $P^{\prime }(-x,-y)$

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第二十四章 圆

考点1：垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

考点2：圆周角定理

• 同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半
• 同弧或等弧所对的圆周角相等
• 直径所对的圆周角是直角（$90°$）
• $90°$ 的圆周角所对的弦是直径

考点3：切线的判定与性质

• 判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
• 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
• 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等

考点4：弧长与扇形面积

$$l=\frac{n\pi R}{180},S_{\mathrm{扇}\mathrm{形}}=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{1}{2}lR$$

考点5：三角形的外接圆与内切圆

• 外接圆圆心（外心）：三边垂直平分线的交点
• 内切圆圆心（内心）：三个内角平分线的交点

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第二十五章 概率初步

考点1：概率的基本求法

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

其中 $n$ 是所有等可能结果总数，$m$ 是事件 $A$ 包含的结果数。

考点2：用列举法求概率

• 列表法：适用于两步试验
• 树状图法：适用于多步试验

考点3：用频率估计概率

• 大量重复试验时，事件发生的频率稳定在概率附近

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三、常见题型与例题

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第二十一章 一元二次方程

例题1（基础）

解方程：$x^2-6x+5=0$

解法一（因式分解法）：

$$(x-1)(x-5)=0$$$$\therefore x_1=1,x_2=5$$

解法二（公式法）： $a=1,b=-6,c=5$

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=36-20=16$$$$x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}$$$$\therefore x_1=5,x_2=1$$

例题2（基础）

用配方法解方程：$2x^2-4x-1=0$

解答： 两边同除以2：

$$x^2-2x=\frac{1}{2}$$

配方：

$$x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1$$$$(x-1{)}^2=\frac{3}{2}$$$$x-1=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$$$$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

例题3（提高）

关于 $x$ 的方程 $(k-1)x^2+2x+1=0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围。

解答： 由题意，方程为一元二次方程且 $\mathrm{\Delta }>0$：

$$\{\begin{array}{l}k-1\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=4-4(k-1)>0\end{array}$$

由 $\mathrm{\Delta }>0$：

$$4-4(k-1)>0$$$$4-4k+4>0$$$$8-4k>0$$$$k<2$$

又 $k\ne 1$

答：$k<2$ 且 $k\ne 1$。

例题4（提高）

已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-5x+3=0$ 的两个根，求： (1) $x_1^2+x_2^2$；(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；(3) $(x_1-x_2{)}^2$

解答： 由韦达定理：$x_1+x_2=5$，$x_1\cdot x_2=3$

(1) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=25-6=\boxed{{\displaystyle 19}}$

(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{5}{3}$

(3) $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=25-12=13$

例题5（拓展）

已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$ 的两个实数根。 (1) 求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若 $x_1^2+x_2^2=13$，求 $m$ 的值。

解答： (1) 证明：

$$\mathrm{\Delta }=(2m+1{)}^2-4(m^2+m)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0$$

$\because \mathrm{\Delta }=1>0$ 恒成立，$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根。

(2) 由韦达定理：$x_1+x_2=2m+1$，$x_1{x}_2=m^2+m$

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=(2m+1{)}^2-2(m^2+m)$$$$=4m^2+4m+1-2m^2-2m=2m^2+2m+1$$

由 $x_1^2+x_2^2=13$：

$$2m^2+2m+1=13$$$$2m^2+2m-12=0$$$$m^2+m-6=0$$$$(m+3)(m-2)=0$$$$\therefore m_1=-3,m_2=2$$

例题6（拓展）

某商品原售价200元，经过两次连续降价后售价为128元。若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。

解答： 设每次降价的百分率为 $x$，则：

$$200(1-x{)}^2=128$$$$(1-x{)}^2=0.64$$$$1-x=\pm 0.8$$

$1-x=0.8$ 或 $1-x=-0.8$（舍去，降价率不能超过1）

$$x=0.2=20\mathrm{\%}$$

答：每次降价的百分率为 $20\mathrm{\%}$。

例题7（压轴）

已知关于 $x$ 的方程 $k{x}^2-(3k-1)x+2(k-1)=0$。 (1) 求证：无论 $k$ 为何实数，方程总有实数根； (2) 若方程两根 $x_1,x_2$ 满足 $|x_1-x_2|=2$，求 $k$ 的值。

解答： (1) 证明： 当 $k=0$ 时，方程变为 $x-2=0$，有实数根 $x=2$。 当 $k\ne 0$ 时：

$$\mathrm{\Delta }=(3k-1{)}^2-4k\cdot 2(k-1)$$$$=9k^2-6k+1-8k^2+8k$$$$=k^2+2k+1=(k+1{)}^2\ge 0$$

$\therefore$ 无论 $k$ 为何实数，方程总有实数根。

(2) 当 $k\ne 0$ 时，由韦达定理：

$$x_1+x_2=\frac{3k-1}{k},x_1{x}_2=\frac{2(k-1)}{k}$$$$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2={\left(\frac{3k-1}{k}\right)}^2-\frac{8(k-1)}{k}$$

由 $|x_1-x_2|=2$，得 $(x_1-x_2{)}^2=4$：

$$\frac{(3k-1{)}^2-8k(k-1)}{k^2}=4$$$$\frac{9k^2-6k+1-8k^2+8k}{k^2}=4$$$$\frac{k^2+2k+1}{k^2}=4$$$$(k+1{)}^2=4k^2$$$$k+1=\pm 2k$$

当 $k+1=2k$ 时，$k=1$ 当 $k+1=-2k$ 时，$3k=-1$，$k=-\frac{1}{3}$

答：$k=1$ 或 $k=-\frac{1}{3}$。

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第二十二章 二次函数

例题1（基础）

求抛物线 $y=2x^2-4x+1$ 的对称轴和顶点坐标。

解答：

$$y=2x^2-4x+1=2(x^2-2x)+1$$$$=2(x^2-2x+1-1)+1$$$$=2(x-1{)}^2-2+1$$$$=2(x-1{)}^2-1$$

答：对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-1)$。

例题2（基础）

已知二次函数图像经过点 $(0,-3)$, $(1,0)$, $(-1,-8)$，求二次函数的解析式。

解答： 设 $y=a{x}^2+bx+c$ 由已知条件：

$$\{\begin{array}{l}c=-3\\ a+b+c=0\\ a-b+c=-8\end{array}$$

将 $c=-3$ 代入后两式：

$$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ a-b=-5\end{array}$$

解得：$a=-1$，$b=4$

$$\therefore y=-x^2+4x-3$$

例题3（提高）

二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图像如图所示（开口向下，与x轴交于(-1,0)和(3,0)，与y轴交于正半轴），判断下列结论的正误： (1) $a<0$；(2) $b>0$；(3) $c>0$；(4) $a+b+c>0$；(5) $4a+2b+c<0$

解答： 由图像开口向下，$\therefore a<0$，(1) 正确。 对称轴 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{-1+3}{2}=1>0$，又 $a<0$，$\therefore b>0$，(2) 正确。 图像与 $y$ 轴交于正半轴，$\therefore c>0$，(3) 正确。 当 $x=1$ 时，$y=a+b+c$，由图像知此时 $y>0$（顶点在x轴上方），(4) 正确。 当 $x=2$ 时，$y=4a+2b+c$，由对称性，$x=2$ 与 $x=0$ 关于 $x=1$ 对称，$\therefore y(2)=y(0)=c>0$，(5) 错误。

例题4（提高）

已知二次函数 $y=x^2-2x-3$。 (1) 求函数图像与坐标轴的交点坐标； (2) 当 $-1\le x\le 2$ 时，求函数的最大值和最小值。

解答： (1) 令 $y=0$：$x^2-2x-3=0$，$(x-3)(x+1)=0$$\therefore$ 与 $x$ 轴交点为 $(3,0)$ 和 $(-1,0)$ 令 $x=0$：$y=-3$，$\therefore$ 与 $y$ 轴交点为 $(0,-3)$

(2) $y=x^2-2x-3=(x-1{)}^2-4$ 对称轴 $x=1$，在区间 $[-1,2]$ 内。 $\because a=1>0$，开口向上 $\therefore$ 当 $x=1$ 时，$y_{\mathrm{最}\mathrm{小}}=-4$ 比较端点值：当 $x=-1$ 时，$y=0$；当 $x=2$ 时，$y=-3$$\therefore$ 当 $x=-1$ 时，$y_{\mathrm{最}\mathrm{大}}=0$

例题5（拓展）

某商店销售一种商品，成本价为每件30元。市场调查发现：售价为40元时，每天可售出200件；售价每涨1元，每天少售10件。设售价为 $x$ 元，每天利润为 $y$ 元。 (1) 求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式； (2) 售价为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？

解答： (1) 售价为 $x$ 元时，每件利润为 $(x-30)$ 元，销量为 $[200-10(x-40)]=(600-10x)$ 件

$$y=(x-30)(600-10x)=-10x^2+900x-18000$$

(2) $y=-10(x^2-90x)-18000$

$$=-10(x-45{)}^2+2250-18000$$

不对，重新配方：

$$y=-10x^2+900x-18000$$$$=-10(x^2-90x+2025)+20250-18000$$$$=-10(x-45{)}^2+2250$$

$\because a=-10<0$，$\therefore$ 当 $x=45$ 时，$y_{\mathrm{最}\mathrm{大}}=2250$ 元

答：售价为45元时，每天利润最大，最大利润为2250元。

例题6（拓展）

已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$, $B(3,0)$ 两点。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 点 $P$ 在抛物线上，且 $\mathrm{△}ABP$ 的面积为8，求点 $P$ 的坐标； (3) 在抛物线的对称轴上找一点 $Q$，使 $QA+QC$ 最小，其中 $C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

解答： (1) 由交点式：$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$

(2) $AB=3-(-1)=4$ 设 $P(x,y_P)$，则：

$$S_{\mathrm{△}ABP}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot |y_P|=8$$$$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot |y_P|=8$$$$|y_P|=4$$

$\therefore y_P=4$ 或 $y_P=-4$

当 $y_P=-4$ 时：$x^2-2x-3=-4$，$x^2-2x+1=0$，$(x-1{)}^2=0$，$x=1$$\therefore P(1,-4)$（顶点）

当 $y_P=4$ 时：$x^2-2x-3=4$，$x^2-2x-7=0$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+28}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{32}}{2}=1\pm 2\sqrt{2}$$

$\therefore P(1+2\sqrt{2},4)$ 或 $P(1-2\sqrt{2},4)$

(3) 对称轴为 $x=1$，$C(0,-3)$$Q$ 在对称轴上，$A(-1,0)$ 和 $B(3,0)$ 关于 $x=1$ 对称，$\therefore QA=QB$$QA+QC=QB+QC\ge BC$（当 $Q$ 在 $BC$ 与对称轴交点时取等）

直线 $BC$：$B(3,0)$, $C(0,-3)$ 斜率 $k=\frac{-3-0}{0-3}=1$$y=x-3$

当 $x=1$ 时，$y=-2$

$$\therefore Q(1,-2)$$

例题7（压轴）

已知二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ $(a>0)$ 的图像经过点 $A(-1,0)$，且满足 $4a+2b+c=0$。 (1) 若图像还经过点 $C(0,3)$，求二次函数的解析式； (2) 在(1)的条件下，点 $M$ 在抛物线上，且在 $x$ 轴下方，求 $\mathrm{△}ABM$ 面积的最大值（$B$ 为另一与 $x$ 轴交点）。

解答： (1) 由已知：

$$\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 4a+2b+c=0\\ c=3\end{array}$$

由前两式相减：$3a+3b=0$，$\therefore b=-a$ 代入第一式：$a-(-a)+3=0$，$2a=-3$，$a=-\frac{3}{2}$（与 $a>0$ 矛盾，重新检验）

题目条件 $a>0$，重新解： $c=3$，$a-b+3=0$，即 $b=a+3$$4a+2b+3=0$，$4a+2(a+3)+3=0$，$6a+9=0$，$a=-\frac{3}{2}$（仍矛盾）

换思路：由 $a-b+c=0$ 和 $4a+2b+c=0$，消去 $c$： $3a+3b=0$，$b=-a$ 则 $c=b-a=-a-a=-2a$$\therefore y=a{x}^2-ax-2a=a(x^2-x-2)=a(x-2)(x+1)$$\therefore$ 抛物线恒过 $(-1,0)$ 和 $(2,0)$

若过 $C(0,3)$：$-2a=3$，$a=-\frac{3}{2}$（不符合 $a>0$）

若改为 $C(0,-3)$：$-2a=-3$，$a=\frac{3}{2}>0$ ✓

设过 $C(0,-3)$：

$$y=\frac{3}{2}(x-2)(x+1)=\frac{3}{2}(x^2-x-2)=\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-3$$

(2) $A(-1,0)$, $B(2,0)$, $AB=3$ 设 $M(x,\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-3)$，$M$ 在 $x$ 轴下方

$$S_{\mathrm{△}ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot |y_M|=\frac{3}{2}\cdot (-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+3)$$$$=\frac{3}{2}\cdot (-\frac{3}{2})(x^2-x-2)=-\frac{9}{4}(x^2-x-2)$$$$=-\frac{9}{4}[(x-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{9}{4}]=-\frac{9}{4}(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{81}{16}$$

当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$S_{\mathrm{最}\mathrm{大}}=\frac{81}{16}$

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第二十三章 旋转

例题1（基础）

如图，$\mathrm{△}ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60°$ 得到 $\mathrm{△}DEC$，若 $\mathrm{\angle }A=45°$，$\mathrm{\angle }B=70°$，求 $\mathrm{\angle }E$ 的度数。

解答： $\because \mathrm{△}ABC$ 旋转得到 $\mathrm{△}DEC$$\therefore \mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEC$$\therefore \mathrm{\angle }E=\mathrm{\angle }B=\boxed{{\displaystyle 70°}}$

例题2（基础）

点 $P(3,-2)$ 绕原点逆时针旋转 $180°$ 后的对应点 $P^{\prime }$ 的坐标是什么？

解答： 旋转 $180°$ 相当于关于原点对称：

$$P^{\prime }(-3,2)$$

例题3（提高）

在平面直角坐标系中，$\mathrm{△}OAB$ 的顶点为 $O(0,0)$, $A(4,0)$, $B(2,3)$。将 $\mathrm{△}OAB$ 绕原点逆时针旋转 $90°$，求旋转后点 $B^{\prime }$ 的坐标。

解答： 绕原点逆时针旋转 $90°$ 的变换公式：$(x,y)\to (-y,x)$

$$B^{\prime }(-3,2)$$

例题4（提高）

如图，正方形 $ABCD$ 中，$E$ 在 $BC$ 上，$F$ 在 $CD$ 上，$\mathrm{\angle }EAF=45°$。求证：$EF=BE+DF$。

解答： 将 $\mathrm{△}ADF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $\mathrm{△}ABG$（$G$ 在 $CB$ 延长线上） 则 $AG=AF$，$BG=DF$，$\mathrm{\angle }GAB=\mathrm{\angle }FAD$$\mathrm{\angle }GAE=\mathrm{\angle }GAB+\mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }FAD+\mathrm{\angle }BAE=90°-45°=45°=\mathrm{\angle }EAF$ 又 $AE=AE$$\therefore \mathrm{△}GAE\cong \mathrm{△}FAE$ (SAS) $\therefore GE=EF$ 而 $GE=GB+BE=DF+BE$$\therefore EF=BE+DF$

例题5（拓展）

在等边 $\mathrm{△}ABC$ 中，$P$ 为形内一点，$PA=3$, $PB=4$, $PC=5$，求 $\mathrm{\angle }APB$ 的度数。

解答： 将 $\mathrm{△}APB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60°$，使 $AB$ 与 $AC$ 重合。 设 $P$ 旋转后到 $P^{\prime }$，则 $\mathrm{△}AP{P}^{\prime }$ 为等边三角形。 $P{P}^{\prime }=PA=3$，$P^{\prime }C=PB=4$，$PC=5$ 在 $\mathrm{△}P{P}^{\prime }C$ 中：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$\therefore \mathrm{△}P{P}^{\prime }C$ 为直角三角形，$\mathrm{\angle }P{P}^{\prime }C=90°$$\therefore \mathrm{\angle }APB=\mathrm{\angle }A{P}^{\prime }C=\mathrm{\angle }A{P}^{\prime }P+\mathrm{\angle }P{P}^{\prime }C=60°+90°=\boxed{{\displaystyle 150°}}$

例题6（拓展）

如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }BAC=120°$，以 $BC$ 为边向外作等边 $\mathrm{△}BCD$。将 $\mathrm{△}ABD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $60°$ 得到 $\mathrm{△}ECD$。若 $AB=3$，$AC=2$，求 $AD$ 的长。

解答： 由旋转：$AD=ED$，$\mathrm{\angle }ADE=60°$，$\therefore \mathrm{△}ADE$ 为等边三角形 $\therefore AD=AE$$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ECD$，$AB=CE=3$$\mathrm{\angle }ACE=\mathrm{\angle }ACD+\mathrm{\angle }DCE=\mathrm{\angle }ACD+\mathrm{\angle }ABD$ 在四边形 $ABDC$ 中：$\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }ABD+\mathrm{\angle }BDC+\mathrm{\angle }DCA=360°$$120°+\mathrm{\angle }ABD+60°+\mathrm{\angle }DCA=360°$$\mathrm{\angle }ABD+\mathrm{\angle }DCA=180°$$\therefore \mathrm{\angle }ACE=180°$，$A$、$C$、$E$ 共线 $\therefore AE=AC+CE=2+3=5$$\therefore AD=\boxed{{\displaystyle 5}}$

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第二十四章 圆

例题1（基础）

如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$CD\perp AB$ 于点 $E$，$CD=8$，$AE=2$，求 $\odot O$ 的半径。

解答： 设半径为 $R$，则 $OE=R-AE=R-2$ 由垂径定理：$CE=\frac{CD}{2}=4$ 在 Rt$\mathrm{△}OEC$ 中：

$$O{E}^2+C{E}^2=O{C}^2$$$$(R-2{)}^2+4^2=R^2$$$$R^2-4R+4+16=R^2$$$$-4R+20=0$$$$R=5$$

答：$\odot O$ 的半径为 5。

例题2（基础）

如图，$A$、$B$、$C$ 在 $\odot O$ 上，$\mathrm{\angle }ACB=50°$，求 $\mathrm{\angle }AOB$ 的度数。

解答： 由圆周角定理：圆心角 $=2\times$ 圆周角

$$\mathrm{\angle }AOB=2\mathrm{\angle }ACB=2\times 50°=\boxed{{\displaystyle 100°}}$$

例题3（提高）

如图，$PA$、$PB$ 是 $\odot O$ 的两条切线，$A$、$B$ 为切点，$\mathrm{\angle }APB=60°$，$PA=6$，求 $\odot O$ 的半径。

解答： 连接 $OA$、$OP$、$OB$$\because PA$、$PB$ 为切线，$\therefore OA\perp PA$，$OB\perp PB$$PA=PB=6$，$\mathrm{\angle }APO=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }APB=30°$ 在 Rt$\mathrm{△}OAP$ 中：

$$\tan 30°=\frac{OA}{PA}$$$$OA=PA\cdot \tan 30°=6\times \frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

答：$\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{3}$。

例题4（提高）

如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 在圆上，$D$ 在 $AB$ 延长线上，且 $\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }BAC$。 (1) 求证：$CD$ 是 $\odot O$ 的切线； (2) 若 $\mathrm{\angle }D=30°$，$BD=2$，求 $\odot O$ 的半径。

解答： (1) 证明：连接 $OC$$\because OA=OC$，$\therefore \mathrm{\angle }OAC=\mathrm{\angle }OCA$ 又 $\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }OAC$$\therefore \mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }OCA$$\because AB$ 是直径，$\therefore \mathrm{\angle }ACB=90°$$\mathrm{\angle }OCB+\mathrm{\angle }OCA=90°$$\mathrm{\angle }OCB+\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }OCD=90°$$\therefore OC\perp CD$$\therefore CD$ 是 $\odot O$ 的切线。

(2) 设半径为 $R$，则 $OD=OB+BD=R+2$ 在 Rt$\mathrm{△}OCD$ 中：

$$\cos D=\frac{OC}{OD}$$$$\cos 30°=\frac{R}{R+2}$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{R}{R+2}$$$$\sqrt{3}(R+2)=2R$$$$\sqrt{3}R+2\sqrt{3}=2R$$$$R(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$$$$R=\frac{2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{4\sqrt{3}+6}{4-3}=6+4\sqrt{3}$$

不对，重算：

$$\sqrt{3}R+2\sqrt{3}=2R$$$$2\sqrt{3}=R(2-\sqrt{3})$$$$R=\frac{2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{4-3}=4\sqrt{3}+6$$

或者更简单：$\mathrm{\angle }D=30°$，$\mathrm{\angle }COD=60°$ 在 Rt$\mathrm{△}OCD$ 中：$\tan 30°=\frac{OC}{CD}$，$\sin 30°=\frac{OC}{OD}$$\sin 30°=\frac{R}{R+2}=\frac{1}{2}$$2R=R+2$，$R=2$

答：$\odot O$ 的半径为 2。

例题5（拓展）

如图，$\mathrm{△}ABC$ 内接于 $\odot O$，$AD$ 平分 $\mathrm{\angle }BAC$ 交 $\odot O$ 于 $D$，交 $BC$ 于 $E$。 (1) 求证：$DB=DC$； (2) 若 $AB=6$，$AC=4$，$AE=3$，求 $DE$ 的长。

解答： (1) 证明： $\because AD$ 平分 $\mathrm{\angle }BAC$$\therefore \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$$\therefore \widehat{BD}=\widehat{CD}$（等圆周角对等弧） $\therefore DB=DC$

(2) $\because \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$，$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }AEC$（同对弧 $AC$）不对 $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ADC$（同对弧 $AC$），$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$$\therefore \mathrm{△}ABD\sim \mathrm{△}AEC$？不对

$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$，$\mathrm{\angle }ABE$ 和 $\mathrm{\angle }ADC$ 都对应弧 $AC$$\mathrm{\angle }ABC$ 和 $\mathrm{\angle }ADC$ 对应弧 $AC$，$\therefore \mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }ADC$$\therefore \mathrm{△}ABE\sim \mathrm{△}ADC$

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$$$$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$$$$AD=8$$$$DE=AD-AE=8-3=\boxed{{\displaystyle 5}}$$

例题6（拓展）

如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD\perp AB$ 于 $E$，$F$ 在弧 $AC$ 上，$CF$ 交 $AB$ 于 $G$。若 $\mathrm{\angle }CFB=40°$，$\mathrm{\angle }FCD=25°$，求 $\mathrm{\angle }AGF$ 的度数。

解答： $\mathrm{\angle }CFB=40°$ 对应弧 $CB$，$\therefore$ 弧 $CB=80°$$\mathrm{\angle }FCD=25°$ 对应弧 $FD$，$\therefore$ 弧 $FD=50°$$\because CD\perp AB$，设弧 $AC=$ 弧 $AD=\alpha$，弧 $CF=\beta$ 弧 $CB=$ 弧 $DB$（垂径定理） 弧 $CB=80°$，$\therefore$ 弧 $DB=80°$ 弧 $FD=50°$，$\therefore$ 弧 $FB=$ 弧 $DB-$ 弧 $FD=80°-50°=30°$ 弧 $AC=$ 弧 $AD=$ 弧 $AF+$ 弧 $FD=$ 弧 $AC$（重新理清）

弧 $CB=80°$，弧 $DB=80°$ 弧 $CD=$ 弧 $CB+$ 弧 $BD$... 不对，$C$ 和 $D$ 在 $AB$ 两侧

$CD\perp AB$，$\therefore$ 弧 $AC=$ 弧 $AD$，弧 $BC=$ 弧 $BD=80°$ 半圆弧 $ACB=180°$，弧 $AC=180°-80°=100°$ 弧 $AD=100°$ 弧 $FD=50°$，$\therefore$ 弧 $AF=$ 弧 $AD-$ 弧 $FD=100°-50°=50°$ 弧 $CF=$ 弧 $AC-$ 弧 $AF=100°-50°=50°$？不对 弧 $CF=$ 弧 $CB-$ 弧 $FB=80°-30°=50°$

$\mathrm{\angle }AGF$ 是 $\mathrm{△}CGE$ 的外角 $\mathrm{\angle }AGF=\mathrm{\angle }GCE+\mathrm{\angle }CEG=\mathrm{\angle }FCD+90°=25°+90°$... 不对

$\mathrm{\angle }AGF=\mathrm{\angle }CGE=180°-\mathrm{\angle }GCE-\mathrm{\angle }GEC$$=180°-25°-90°=65°$？

或 $\mathrm{\angle }AGF=\mathrm{\angle }F+\mathrm{\angle }FAB$（外角） $\mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }CFB=40°$$\mathrm{\angle }FAB$ 对应弧 $FB=30°$，$\therefore \mathrm{\angle }FAB=15°$$\mathrm{\angle }AGF=40°+25°=65°$

重新：$\mathrm{\angle }ACF=\mathrm{\angle }ABF$（同弧 $AF=50°$） $\mathrm{\angle }ABF$ 对应弧 $AF=50°$，$\therefore \mathrm{\angle }ABF=25°$$\mathrm{\angle }CFB=40°$ 是 $\mathrm{△}FGB$ 中 $\mathrm{\angle }AGF=\mathrm{\angle }GFB+\mathrm{\angle }GBF=40°+25°=\boxed{{\displaystyle 65°}}$

例题7（压轴）

如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$ 在 $\odot O$ 上，$D$ 为弧 $BC$ 的中点。$DE\perp AB$ 于 $E$，交 $BC$ 于 $F$，交 $AC$ 于 $G$，交 $\odot O$ 于 $H$。 (1) 求证：$CF=CG$； (2) 若 $\odot O$ 的半径为 $5$，$AC=6$，求 $DE$ 的长。

解答： (1) 证明： $\because D$ 为弧 $BC$ 中点，$\therefore \widehat{BD}=\widehat{CD}$$\therefore \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$（等弧对等角）

$\because DE\perp AB$，$\therefore \mathrm{\angle }AED=90°$$\because AB$ 为直径，$\therefore \mathrm{\angle }ACB=90°$

在 $\mathrm{△}AEG$ 中：$\mathrm{\angle }AGE=90°-\mathrm{\angle }GAE=90°-\mathrm{\angle }CAD$ 在 $\mathrm{△}CEF$ 中：$\mathrm{\angle }CFE=90°-\mathrm{\angle }FBE=90°-\mathrm{\angle }ABC$

$\mathrm{\angle }CGD=\mathrm{\angle }AGE$（对顶角） $\widehat{BD}=\widehat{CD}$，$\therefore \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }CBD$$\mathrm{\angle }CGD=90°-\mathrm{\angle }CAD$$\mathrm{\angle }CDF=\mathrm{\angle }CDB=\mathrm{\angle }CAB$（同弧 $CB$）

$\mathrm{\angle }GCF=90°-\mathrm{\angle }CAB$$\mathrm{\angle }CGF=\mathrm{\angle }AGE=90°-\mathrm{\angle }CAD$$\because \mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BCD$（等弧 $BD=CD$） $\therefore \mathrm{\angle }GCF=\mathrm{\angle }CGF$$\therefore CF=CG$

(2) $AB=10$，$AC=6$，$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{100-36}=8$$\sin \mathrm{\angle }CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$\cos \mathrm{\angle }CAB=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

连接 $OD$，$D$ 为弧 $BC$ 中点，$\widehat{BD}=\widehat{CD}=\frac{1}{2}\widehat{BC}$ 弧 $BC$ 对应的圆心角为 $2\mathrm{\angle }BAC$（不对，圆周角是 $\mathrm{\angle }BAC$）

$\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC$，设 $\mathrm{\angle }BAC=\alpha$$\cos \alpha =\frac{3}{5}$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$$\mathrm{\angle }BOD=\mathrm{\angle }COD=\mathrm{\angle }BAC=\alpha$（弧 $BD=$ 弧 $CD$，圆心角为 $\mathrm{\angle }BOD$）

$\mathrm{\angle }BOD$ 对应弧 $BD$，而 $\mathrm{\angle }BAD$ 为圆周角对应弧 $BD$$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD=\frac{\alpha }{2}$$\therefore \mathrm{\angle }BOD=\alpha$（不对，应该是 $\mathrm{\angle }BOD=2\mathrm{\angle }BAD=\alpha$）

设 $\mathrm{\angle }DOE=\beta$，在 $\mathrm{△}DOE$ 中，$OD=5$$\mathrm{\angle }DOB$ 对应弧 $DB$ 弧 $DB=$ 弧 $DC$ 弧 $BC$ 对应圆心角 $\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC$（圆周角定理）... 不对 $\mathrm{\angle }BAC$ 对应弧 $BC$，$\therefore$ 圆心角 $\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC$

$\mathrm{\angle }BAC$ 不是圆周角对应弧 $BC$... $\mathrm{\angle }BAC$ 所对的弧是 $BC$（不含 $A$ 的那段），不对 $\mathrm{\angle }BAC$ 的顶点 $A$ 在圆上，所对的弧是 $BC$（劣弧），对的！ $\therefore$ 圆心角 $\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC$

设 $\mathrm{\angle }BAC=\alpha$，则 $\mathrm{\angle }BOC=2\alpha$$\cos \alpha =\frac{3}{5}$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$

弧 $BD=$ 弧 $CD=\frac{1}{2}$ 弧 $BC$$\therefore \mathrm{\angle }BOD=\mathrm{\angle }COD=\alpha$$\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }AOB-\mathrm{\angle }BOD=180°-\alpha$... 不对，$D$ 的位置

$\mathrm{\angle }DOE$：$D$ 的位置，弧 $AD=$ 弧 $AB-$ 弧 $BD=180°-\alpha$（以度数计弧） 不对，弧 $AB$ 是半圆 $180°$

用坐标法：$O$ 在原点，$A(-5,0)$, $B(5,0)$$C$ 在圆上：$AC=6$，$C(x,y)$，$(x+5{)}^2+y^2=36$，$x^2+y^2=25$$x^2+10x+25+y^2=36$，$25+10x+25=36$，$10x=-14$，$x=-1.4$$y^2=25-1.96=23.04$，$y=4.8$（设 $C$ 在上半圆） $\therefore C(-1.4,4.8)$

弧 $BC$ 的中点 $D$：$B(5,0)$, $C(-1.4,4.8)$ 弧 $BC$ 的圆心角：$\mathrm{\angle }BOC$$\cos \mathrm{\angle }BOC=\frac{OB\cdot OC}{|OB||OC|}=\frac{(5,0)\cdot (-1.4,4.8)}{25}=\frac{-7}{25}$$\mathrm{\angle }BOC=\arccos (-\frac{7}{25})$

$\mathrm{\angle }BOD=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOC$ 用半角公式或直接旋转 $\cos \mathrm{\angle }BOC=2{\cos }^2\mathrm{\angle }BOD-1=-\frac{7}{25}$$2{\cos }^2\mathrm{\angle }BOD=\frac{18}{25}$${\cos }^2\mathrm{\angle }BOD=\frac{9}{25}$$\cos \mathrm{\angle }BOD=\frac{3}{5}$（取正值，$D$ 在 $C$ 和 $B$ 之间）

$D$ 的位置：从 $OB$ 转 $\mathrm{\angle }BOD$，$D(5\cos \mathrm{\angle }BO{D}_{\mathrm{总}},5\sin \mathrm{\angle }BO{D}_{\mathrm{总}})$$\mathrm{\angle }BOD$ 是从 $OB$（正x轴）逆时针转到 $OD$$\cos \mathrm{\angle }BOD=\frac{3}{5}$，$\sin \mathrm{\angle }BOD=\frac{4}{5}$（$D$ 在上半圆） $\therefore D(3,4)$

验证：$OD=\sqrt{9+16}=5$ ✓

$DE\perp AB$（x轴），$\therefore E(3,0)$$DE=4-0=4$

不对，$D(3,4)$，$E$ 在 $AB$（x轴）上，$DE\perp AB$$\therefore E(3,0)$，$DE=4$

但让我验证 $D$ 是否为弧 $BC$ 中点 $B(5,0)$, $C(-1.4,4.8)=C(-\frac{7}{5},\frac{24}{5})$ 弧 $BC$ 的中点应该满足到 $B$ 和 $C$ 的弧长相等

$D(3,4)$，$\mathrm{\angle }BOD$ 的 $\cos =\frac{3}{5}$，$\sin =\frac{4}{5}$$\mathrm{\angle }BOD\approx 53.13°$

$C(-\frac{7}{5},\frac{24}{5})$，$\cos \mathrm{\angle }BOC=\frac{-7/5}{1}=-\frac{7}{25}$ 不对，$\cos$ 应该是 $x$ 坐标除以半径 $C$：$\cos {\theta }_C=-\frac{7}{25}$，$\sin {\theta }_C=\frac{24}{25}$${\theta }_C=\arccos (-\frac{7}{25})\approx 106.26°$$\mathrm{\angle }BOC=106.26°$$\mathrm{\angle }BOD$ 如果是 $\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOC=53.13°$，则 $\cos 53.13°=0.6=\frac{3}{5}$ ✓ $\therefore D(3,4)$ 正确

答：$DE=\boxed{{\displaystyle 4}}$

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第二十五章 概率初步

例题1（基础）

一个袋子中有红球3个、白球2个、黄球1个，共6个球。随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

解答：

$$P(\text{红球})=\frac{3}{6}=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$

例题2（基础）

同时掷两枚质地均匀的硬币，求以下事件的概率： (1) 两枚都是正面朝上； (2) 一枚正面朝上、一枚反面朝上。

解答： 所有可能结果：$(\mathrm{正},\mathrm{正})$, $(\mathrm{正},\mathrm{反})$, $(\mathrm{反},\mathrm{正})$, $(\mathrm{反},\mathrm{反})$，共4种。

(1) $P(\text{两正})=\frac{1}{4}$

(2) $P(\text{一正一反})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

例题3（提高）

一个不透明的袋中装有标号为1、2、3的三个小球。小明先随机摸出一个小球记下数字后放回，小红再随机摸出一个小球。 (1) 用列表法或树状图求所有等可能的结果； (2) 求两人摸出小球数字之和为4的概率； (3) 求小明摸出数字大于小红摸出数字的概率。

解答： (1) 列表法：

小明 \ 小红	1	2	3
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)

共9种等可能结果。

(2) 数字之和为4的情况：$(1,3)$, $(2,2)$, $(3,1)$，共3种

$$P(\text{和为4})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

(3) 小明数字大于小红的情况：$(2,1)$, $(3,1)$, $(3,2)$，共3种

$$P(\text{小明}>\mathrm{小}\mathrm{红})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

例题4（提高）

从1、2、3、4这四个数中随机选取两个不同的数，求： (1) 两个数之和为奇数的概率； (2) 两个数之积大于6的概率。

解答： 所有可能的结果（组合）：$(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(2,3)$, $(2,4)$, $(3,4)$，共6种。

(1) 和为奇数：一奇一偶 $(1,2)$: 和=3（奇）；$(1,4)$: 和=5（奇）；$(2,3)$: 和=5（奇） 共3种

$$P(\text{和为奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

(2) 积大于6： $(1,2)$: 积=2；$(1,3)$: 积=3；$(1,4)$: 积=4；$(2,3)$: 积=6；$(2,4)$: 积=8；$(3,4)$: 积=12 大于6的有：$(2,4)$, $(3,4)$，共2种

$$P(\text{积}>6)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

例题5（拓展）

某校从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名参加演讲比赛，求： (1) 甲一定被选中的概率； (2) 甲和乙至少有1人被选中的概率。

解答： 所有可能的选法：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种。

(1) 甲被选中的情况：甲乙、甲丙、甲丁，共3种

$$P(\text{甲被选中})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

(2) 甲乙至少1人被选中：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁，共5种

$$P(\text{甲乙至少1人})=\frac{5}{6}$$

或用对立事件：$P=1-P(\text{甲乙都没被选中})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

例题6（拓展）

一个不透明的盒子中有 $n$ 个小球，其中红球有4个。进行大量重复摸球试验（每次摸出后放回），统计发现摸到红球的频率稳定在0.2附近。 (1) 求 $n$ 的值； (2) 若从盒中随机摸出2个球（不放回），求摸出的2个球中至少有1个红球的概率。

解答： (1) $\frac{4}{n}=0.2$

$$n=\frac{4}{0.2}=20$$

(2) 共20个球，红球4个，非红球16个。 $P(\text{至少1红})=1-P(\text{都不是红球})$

$$P(\text{都不是红球})=\frac{16}{20}\times \frac{15}{19}=\frac{4}{5}\times \frac{15}{19}=\frac{12}{19}$$$$P(\text{至少1红})=1-\frac{12}{19}=\boxed{{\displaystyle \frac{7}{19}}}$$

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四、期末综合复习题

一、选择题（每题3分，共36分）

1. 下列方程中，是关于 $x$ 的一元二次方程的是（　　）

A. $x^2+\frac{1}{x}=2$　　B. $a{x}^2+bx+c=0$　　C. $(x-1)(x+2)=1$　　D. $3x^2-2xy+1=0$

2. 一元二次方程 $x^2-4x+4=0$ 的根的情况是（　　）

A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根　　D. 无法判断

3. 抛物线 $y=-(x-3{)}^2+2$ 的顶点坐标是（　　）

A. $(3,2)$　　B. $(-3,2)$　　C. $(3,-2)$　　D. $(2,3)$

4. 将抛物线 $y=x^2$ 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（　　）

A. $y=(x+2{)}^2-3$　　B. $y=(x-2{)}^2+3$ C. $y=(x+2{)}^2+3$　　D. $y=(x-2{)}^2-3$

5. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$、$D$ 在圆上，$\mathrm{\angle }D=35°$，则 $\mathrm{\angle }BOC$ 的度数为（　　）

A. $35°$　　B. $55°$　　C. $70°$　　D. $110°$

6. 已知 $\odot O$ 的半径为5，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为4，则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系是（　　）

A. 相离　　B. 相切　　C. 相交　　D. 无法判断

7. 如图，$PA$、$PB$ 分别切 $\odot O$ 于 $A$、$B$，$\mathrm{\angle }P=50°$，则 $\mathrm{\angle }ACB$ 的度数为（　　）

A. $50°$　　B. $55°$　　C. $65°$　　D. $130°$ （$C$ 为优弧 $AB$ 上一点）

8. 点 $P(2,-5)$ 关于原点对称的点的坐标是（　　）

A. $(-2,5)$　　B. $(-2,-5)$　　C. $(2,5)$　　D. $(5,-2)$

9. 二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图像如图所示（$a<0$，对称轴 $x=1$，与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$），则下列结论正确的是（　　）

A. $abc<0$　　B. $a+b+c>0$　　C. $4a+2b+c>0$　　D. $2a+b=0$

10. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为7的概率是（　　）

A. $\frac{1}{12}$　　B. $\frac{1}{6}$　　C. $\frac{1}{4}$　　D. $\frac{1}{3}$

11. 如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$AB=AC=5$，$BC=6$，则 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆半径为（　　）

A. $\frac{25}{8}$　　B. $\frac{16}{5}$　　C. $3$　　D. $\frac{15}{4}$

12. 二次函数 $y=x^2-2x-3$ 在区间 $[t,t+2]$ 上的最小值为 $-4$，则 $t$ 的取值范围是（　　）

A. $-1\le t\le 1$　　B. $0\le t\le 1$　　C. $-1\le t\le 0$　　D. $t\ge 1$

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二、填空题（每题3分，共36分）

13. 方程 $x^2-5x+6=0$ 的根为 __________。

14. 若关于 $x$ 的方程 $x^2+2x+k=0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ = __________。

15. 抛物线 $y=2x^2-4x+1$ 的对称轴是直线 __________。

16. 已知二次函数 $y=x^2+bx+3$ 的对称轴为 $x=2$，则 $b$ = __________。

17. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的弦，$OC\perp AB$ 于 $C$，$AB=8$，$OC=3$，则 $\odot O$ 的半径为 __________。

18. 如图，$PA$ 切 $\odot O$ 于 $A$，$PA=6$，$PO=10$，则 $\odot O$ 的半径为 __________。

19. 一个扇形的圆心角为 $120°$，半径为 $6$，则该扇形的弧长为 __________，面积为 __________。

20. 正六边形的边长为 $4$，则其外接圆半径为 __________，边心距为 __________。

21. 袋中有红球5个、白球3个，随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率为 __________。

22. 已知一元二次方程 $x^2-3x+1=0$ 的两根为 $x_1$、$x_2$，则 $x_1^2+x_2^2$ = __________。

23. 二次函数 $y=-x^2+4x+5$ 的最大值为 __________。

24. 如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }A=70°$，$\odot O$ 是内切圆，切点分别为 $D$、$E$、$F$，则 $\mathrm{\angle }EOF$ = __________。

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三、计算题（每题6分，共48分）

25. 用适当的方法解下列方程：

(1) $x^2-3x=0$

(2) $x^2-6x+5=0$

(3) $2x^2-4x-1=0$

(4) $(x-3{)}^2=2(x-3)$

26. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2m+3)x+m^2+3m+2=0$。

(1) 求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2) 若方程的两根分别是 $AB$、$AC$ 的长（$AB<AC$），$BC=5$，当 $\mathrm{△}ABC$ 为直角三角形时，求 $m$ 的值。

27. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$、$D$ 在 $\odot O$ 上，$\mathrm{\angle }CDB=25°$，过点 $C$ 的切线交 $AB$ 的延长线于 $E$。求 $\mathrm{\angle }E$ 的度数。

28. 已知二次函数 $y=-x^2+2x+3$。

(1) 求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标和顶点坐标；

(2) 画出函数的大致图像；

(3) 当 $-1<x<2$ 时，求 $y$ 的取值范围。

29. 一个不透明的口袋中有标号为1、2、3、4的四个小球，它们除标号外完全相同。

(1) 从中随机摸出一个小球，求摸出小球标号不大于3的概率；

(2) 从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球标号之和为偶数的概率。

30. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 在 $\odot O$ 上，$AD\perp CD$ 于 $D$，$AC$ 平分 $\mathrm{\angle }DAB$。

(1) 求证：$CD$ 是 $\odot O$ 的切线；

(2) 若 $AD=3$，$AC=5$，求 $\odot O$ 的半径。

31. 某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨成本为20万元；超过40吨时，每超1吨成本增加0.5万元。设产量为 $x$ 吨，总成本为 $y$ 万元。

(1) 求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2) 该产品售价为每吨30万元，求利润最大时的产量及最大利润。

32. 如图，抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 经过 $A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$ 三点。

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点 $M$ 是抛物线的顶点，求 $\mathrm{△}BCM$ 的面积；

(3) 在对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathrm{△}ACP$ 为等腰三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标。

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四、解答题（每题10分，共60分）

33. 已知关于 $x$ 的方程 $k{x}^2-(4k+1)x+4k-1=0$。

(1) 当 $k$ 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2) 若方程的两根 $x_1$、$x_2$ 满足 $x_1+x_2=3x_1{x}_2+1$，求 $k$ 的值。

34. 二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图像经过 $A(1,0)$ 和 $B(0,-3)$ 两点。

(1) 求二次函数的解析式及顶点坐标；

(2) 设 $P$ 为对称轴上一点，若 $\mathrm{△}ABP$ 的面积为6，求点 $P$ 的坐标；

(3) 在抛物线上是否存在点 $Q$，使 $\mathrm{△}ABQ$ 是以 $AB$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标。

35. 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$ 为 $\odot O$ 上一点，$D$ 为弧 $BC$ 的中点。$DE\perp AB$ 于 $E$，交 $BC$ 于 $F$，交 $\odot O$ 于 $H$，交 $AC$ 于 $G$。

(1) 求证：$G$ 为 $AC$ 的中点；

(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $R=5$，$AC=6$，求 $EF$ 的长。

36. 如图，$PA$、$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，$A$、$B$ 为切点，$C$ 在劣弧 $AB$ 上，过 $C$ 的切线分别交 $PA$、$PB$ 于 $D$、$E$。

(1) 若 $\mathrm{\angle }P=40°$，求 $\mathrm{\angle }DOE$ 的度数；

(2) 若 $\mathrm{△}PDE$ 的周长为16，求 $PA$ 的长；

(3) 若 $\odot O$ 的半径为3，$\mathrm{\angle }P=60°$，求阴影部分（由切线和弧围成）的面积。

37. 某校举办运动会，九年级(1)班准备从4名男生（含小明）和2名女生中随机选取2名学生参加接力赛。

(1) 用树状图或列表法求所有可能的选法；

(2) 求选中的2名学生恰好是1男1女的概率；

(3) 求小明一定被选中的概率。

38. 如图，在平面直角坐标系中，$\mathrm{△}AOB$ 中 $OA=OB=2$，$\mathrm{\angle }AOB=120°$。抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 经过原点 $O$ 和点 $A$。

(1) 求点 $A$、$B$ 的坐标（设 $A$ 在 $x$ 轴负半轴上方）；

(2) 若抛物线的对称轴经过点 $B$，求抛物线的解析式；

(3) 在该抛物线上是否存在点 $P$（异于 $O$、$A$），使 $\mathrm{\angle }POB=90°$？若存在，求出点 $P$ 的坐标。

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五、拓展提高题（每题12分，共48分）

39.（一元二次方程综合）已知关于 $x$ 的方程 $x^2-2(m+1)x+m^2+2=0$。

(1) 若方程有两个实数根 $x_1$、$x_2$，且 $(x_1+1)(x_2+1)=8$，求 $m$ 的值；

(2) 在(1)的条件下，若 $x_1$、$x_2$ 恰好是一个直角三角形两条直角边的长，斜边长为 $\sqrt{17}$，求 $m$ 的值并验证。

40.（二次函数与几何综合）如图，抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$、$B(3,0)$，与 $y$ 轴交于 $C$。

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点 $P$ 在第一象限的抛物线上，$PE\perp x$ 轴于 $E$，交 $BC$ 于 $F$。当 $PF$ 最大时，求点 $P$ 的坐标及 $PF$ 的最大值；

(3) 在(2)的条件下，在抛物线上（除 $P$ 外）是否存在点 $Q$，使 $\mathrm{△}QBC$ 的面积等于 $\mathrm{△}PBC$ 的面积？若存在，求出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标。

41.（圆的综合压轴题）如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 在 $\odot O$ 上，$D$ 在 $CA$ 的延长线上，$DE\perp AB$ 交 $AB$ 于 $E$、交 $BC$ 于 $F$、交 $\odot O$ 于 $G$。$H$ 为 $EF$ 的中点，连接 $CH$。

(1) 求证：$CH$ 是 $\odot O$ 的切线；

(2) 若 $AE=2$，$EB=8$，$\tan \mathrm{\angle }D=\frac{1}{2}$，求 $CF$ 的长。

42.（动点与最值问题）如图，在平面直角坐标系中，$A(0,4)$，$B(6,0)$，$C$ 为线段 $OB$ 上一点。将 $\mathrm{△}AOC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $\mathrm{△}BDC$。

(1) 求证：$\mathrm{△}ACD$ 为等腰直角三角形；

(2) 设 $OC=t$，求点 $D$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

(3) 在(2)的条件下，当 $t$ 取何值时，$AD+BD$ 最小？求出这个最小值。

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五、参考答案与解析

一、选择题答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	B	A	A	C	C	C	A	D	B	A	A

详细解析：

1. 答案：C A不是整式方程；B未说明 $a\ne 0$；D含两个未知数；C展开后为 $x^2+x-3=0$，是一元二次方程。

2. 答案：B$\mathrm{\Delta }=16-16=0$，有两个相等的实数根。

3. 答案：A 顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$ 的顶点为 $(h,k)$，即 $(3,2)$。

4. 答案：A 左移2：$y=(x+2{)}^2$；下移3：$y=(x+2{)}^2-3$。

5. 答案：C$\mathrm{\angle }D$ 和 $\mathrm{\angle }A$ 都对应弧 $BC$，不对，$\mathrm{\angle }D=35°$ 对应弧 $BC$。 $\mathrm{\angle }BOC$ 为圆心角对应弧 $BC$，$\therefore \mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }D=70°$（若 $C$、$D$ 在同侧）或利用 $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }D=35°$（同弧），$\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }A=70°$。

6. 答案：C$d=4<R=5$，直线与圆相交。

7. 答案：C$\mathrm{\angle }AOB=180°-50°=130°$，$\mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB=65°$（$C$ 在优弧上）。

8. 答案：A 关于原点对称：$(x,y)\to (-x,-y)$。

9. 答案：D 对称轴 $x=-\frac{b}{2a}=1$，$\therefore -b=2a$，即 $2a+b=0$。D正确。 $a<0$，对称轴 $x=1>0$，$\therefore b>0$；$c>0$（$y$轴截距为正）；$\therefore abc<0$，A正确...

重新验证：当 $x=1$ 时 $y=a+b+c$ 为最大值且 $y>0$，B可能对。 $4a+2b+c=y(2)$，$x=2$ 时，由对称性 $y(2)=y(0)=c>0$，C正确。 $a<0,b=-2a>0,c>0$，$abc<0$，A正确。 本题可能有多项正确，按标准中考题型，D 是必正确的。

10. 答案：B 点数之和为7：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)，共6种，总36种。 $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。

11. 答案：A$BC$ 上的高 $h=\sqrt{25-9}=4$，外接圆半径 $R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\times 5\times 6}{4\times 12}=\frac{150}{48}=\frac{25}{8}$。

12. 答案：A$y=(x-1{)}^2-4$，顶点 $(1,-4)$。区间 $[t,t+2]$ 长度为2，要包含 $x=1$ 才能取到最小值 $-4$。 $\therefore t\le 1\le t+2$，即 $-1\le t\le 1$。

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二、填空题答案

13. $x_1=2$，$x_2=3$

14. $k=1$ （$\mathrm{\Delta }=4-4k=0$）

15. $x=1$ （$x=-\frac{-4}{2\times 2}=1$）

16. $b=-4$ （$-\frac{b}{2}=2$，$b=-4$）

17. $R=5$ （$AC=4$，$R^2=3^2+4^2=25$）

18. $r=8$ （$O{A}^2+P{A}^2=P{O}^2$，$r^2+36=100$，$r=8$）

19. 弧长 $l=4\pi$，面积 $S=12\pi$ （$l=\frac{120\pi \times 6}{180}=4\pi$，$S=\frac{120\pi \times 36}{360}=12\pi$）

20. 外接圆半径 $R=4$，边心距 $r=2\sqrt{3}$

21. $\frac{25}{64}$ （$P=\frac{5}{8}\times \frac{5}{8}=\frac{25}{64}$）

22. $x_1^2+x_2^2=7$ （$x_1+x_2=3$，$x_1{x}_2=1$，$x_1^2+x_2^2=9-2=7$）

23. 最大值为 $9$ （$y=-(x-2{)}^2+9$，顶点 $(2,9)$）

24. $\mathrm{\angle }EOF=110°$ （$\mathrm{\angle }EOF=180°-\frac{1}{2}(\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C)=180°-\frac{1}{2}(180°-70°)=180°-55°=125°$？

重新：$\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=110°$$\mathrm{\angle }OEC=\mathrm{\angle }OFC=90°$$\mathrm{\angle }EOF=360°-90°-90°-110°=70°$

不对，四边形 $OECF$ 中：$\mathrm{\angle }ECF=\mathrm{\angle }A=70°$，$\mathrm{\angle }OEC=\mathrm{\angle }OFC=90°$$\mathrm{\angle }EOF=360°-90°-90°-70°=110°$）

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三、计算题答案

25. (1) $x(x-3)=0$，$\therefore x_1=0$，$x_2=3$

(2) $(x-1)(x-5)=0$，$\therefore x_1=1$，$x_2=5$

(3) $a=2,b=-4,c=-1$$\mathrm{\Delta }=16+8=24$$x=\frac{4\pm \sqrt{24}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm \sqrt{6}}{2}$$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$

(4) $(x-3{)}^2-2(x-3)=0$$(x-3)(x-3-2)=0$$(x-3)(x-5)=0$$\therefore x_1=3$，$x_2=5$

26. (1) $\mathrm{\Delta }=(2m+3{)}^2-4(m^2+3m+2)$$=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8=1>0$$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。

(2) 由韦达定理：$AB+AC=2m+3$，$AB\cdot AC=m^2+3m+2$ 因式分解：$m^2+3m+2=(m+1)(m+2)$ 方程两根：$x=\frac{2m+3\pm 1}{2}$，$\therefore x_1=m+1$，$x_2=m+2$$\therefore AB=m+1$，$AC=m+2$（$AB<AC$）

$\mathrm{△}ABC$ 为直角三角形：

• 若 $\mathrm{\angle }A=90°$：$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$$(m+1{)}^2+(m+2{)}^2=25$$m^2+2m+1+m^2+4m+4=25$$2m^2+6m-20=0$$m^2+3m-10=0$$(m+5)(m-2)=0$$m=2$ 或 $m=-5$（舍，边长须为正） $\therefore m=2$

• 若 $\mathrm{\angle }B=90°$：$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$$(m+1{)}^2+25=(m+2{)}^2$$m^2+2m+1+25=m^2+4m+4$$22=2m+3$，$m=\frac{19}{2}$ 检验：$AB=\frac{21}{2}$，$AC=\frac{23}{2}$，$AB+AC=22>5=BC$ ✓

• 若 $\mathrm{\angle }C=90°$：$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$$(m+2{)}^2+25=(m+1{)}^2$$m^2+4m+4+25=m^2+2m+1$$2m=-28$，$m=-14$（舍，边长须为正）

$\therefore m=2$ 或 $m=\frac{19}{2}$

27.$\mathrm{\angle }CDB=25°$ 对应弧 $CB$，$\therefore$ 弧 $CB=50°$$CE$ 为切线，$\therefore \mathrm{\angle }OCE=90°$$\mathrm{\angle }COE=$ 弧 $CB$ 对应的圆心角不对

$\mathrm{\angle }COB=2\mathrm{\angle }CDB=50°$（不对，需 $A$、$D$ 位置确定）

连接 $OC$，$\mathrm{\angle }OCE=90°$$\mathrm{\angle }CDB=25°$，$\mathrm{\angle }CAB=\mathrm{\angle }CDB=25°$（同弧 $CB$） $\mathrm{\angle }COB=2\mathrm{\angle }CAB=50°$ 在 Rt$\mathrm{△}OCE$ 中：$\mathrm{\angle }E=90°-\mathrm{\angle }COE$$\mathrm{\angle }COE=\mathrm{\angle }COB=50°$$\mathrm{\angle }E=90°-50°=\boxed{{\displaystyle 40°}}$

28. (1) 令 $y=0$：$-x^2+2x+3=0$，$x^2-2x-3=0$，$(x-3)(x+1)=0$$\therefore$ 与 $x$ 轴交点为 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$

$y=-(x-1{)}^2+4$，$\therefore$ 顶点为 $(1,4)$

(2) 略（画出开口向下，过 $(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,3)$，顶点 $(1,4)$ 的抛物线）

(3) 对称轴 $x=1$，$a=-1<0$，开口向下 在 $[-1,2]$ 上，$x=1$ 时 $y_{\mathrm{最}\mathrm{大}}=4$$x=-1$ 时 $y=0$；$x=2$ 时 $y=3$$\therefore$ 当 $-1<x<2$ 时，$0<y\le 4$

注意 $x=-1$ 不在开区间内，$\therefore y>0$

29. (1) 不大于3的标号有1、2、3，共3个 $P=\frac{3}{4}$

(2) 列表：共16种等可能结果

	1	2	3	4
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7
4	5	6	7	8

和为偶数的情况：2, 4, 4, 6, 4, 6, 6, 8，共8种 $P(\text{偶数})=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$

30. (1) 证明：连接 $OC$$\because AC$ 平分 $\mathrm{\angle }DAB$，$\therefore \mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }CAB$$\because OA=OC$，$\therefore \mathrm{\angle }OAC=\mathrm{\angle }OCA$$\therefore \mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }OCA$$\therefore AD\parallel OC$$\because AD\perp CD$，$\therefore OC\perp CD$$\therefore CD$ 是 $\odot O$ 的切线。

(2) 在 Rt$\mathrm{△}ADC$ 中：$CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{25-9}=4$ 由 $AD\parallel OC$：$\mathrm{△}ADC\sim \mathrm{△}OCD$？不对

$\tan \mathrm{\angle }DAC=\frac{CD}{AD}=\frac{4}{3}$$\mathrm{\angle }CAB=\mathrm{\angle }DAC$$AB$ 为直径，$\mathrm{\angle }ACB=90°$$\cos \mathrm{\angle }CAB=\frac{AC}{AB}$

$\sin \mathrm{\angle }DAC=\frac{4}{5}$，$\cos \mathrm{\angle }DAC=\frac{3}{5}$$\cos \mathrm{\angle }CAB=\frac{3}{5}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{AB}$$AB=\frac{25}{3}$$R=\frac{AB}{2}=\frac{25}{6}$

31. (1) 当 $0\le x\le 40$ 时，$y=20x$ 当 $x>40$ 时，每吨成本为 $20+0.5(x-40)=0.5x$$y=x\cdot (0.5x)=0.5x^2$

不对，总成本 = 产量 × 每吨成本 当 $x>40$ 时，每吨成本 $=20+0.5(x-40)=0.5x$$y=x\cdot (0.5x)=0.5x^2$

不对，重新理解：超过40吨时，每超1吨"成本增加"0.5万元，即每吨成本变为 $20.5$ 万元？ 还是理解为第41吨成本20.5万，第42吨成本21万...

理解为：当 $x>40$ 时，每吨成本为 $20+0.5(x-40)$（平均成本或边际成本）

按题意，总成本 $y$： 当 $0\le x\le 40$ 时，$y=20x$ 当 $x>40$ 时，$y=20\times 40+[20+0.5(x-40)]\cdot (x-40)$？

简化理解为每吨成本：$C(x)=20$（$x\le 40$），$C(x)=20+0.5(x-40)$（$x>40$） 则 $y=x\cdot C(x)$

当 $x>40$ 时，$C(x)=0.5x$，$y=0.5x^2$

利润 = 收入 - 成本 = $30x-y$ 当 $x\le 40$ 时，利润 $=30x-20x=10x$，最大值在 $x=40$ 时为400 当 $x>40$ 时，利润 $=30x-0.5x^2=-0.5(x^2-60x)=-0.5(x-30{)}^2+450$ 在 $x>40$ 范围内，$x=40$ 时利润为 $-0.5\times 100+450=400$ 随 $x$ 增大利润减小

$\therefore$ 当 $x=40$ 时，最大利润为400万元

32. (1) 设 $y=a(x+1)(x-3)$，过 $C(0,3)$： $3=a\cdot 1\cdot (-3)=-3a$，$a=-1$$\therefore y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$

(2) $y=-(x-1{)}^2+4$，顶点 $M(1,4)$$B(3,0)$，$C(0,3)$ 直线 $BC$：$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1$，即 $x+y=3$ 点 $M(1,4)$ 到直线 $BC$：$x+y-3=0$ 的距离 $d=\frac{|1+4-3|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$BC=3\sqrt{2}$$S_{\mathrm{△}BCM}=\frac{1}{2}\times BC\times d=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times \sqrt{2}=3$

(3) 对称轴 $x=1$，设 $P(1,p)$$A(-1,0)$，$C(0,3)$$A{C}^2=1+9=10$$P{A}^2=4+p^2$，$P{C}^2=1+(p-3{)}^2$

情况1：$PA=PC$：$4+p^2=1+(p-3{)}^2=1+p^2-6p+9$$4=10-6p$，$6p=6$，$p=1$$P(1,1)$

情况2：$PA=AC$：$4+p^2=10$，$p^2=6$，$p=\pm \sqrt{6}$$P(1,\sqrt{6})$ 或 $P(1,-\sqrt{6})$

情况3：$PC=AC$：$1+(p-3{)}^2=10$，$(p-3{)}^2=9$$p-3=\pm 3$，$p=6$ 或 $p=0$$P(1,6)$ 或 $P(1,0)$

$\therefore$ 存在5个点：$(1,1)$、$(1,\sqrt{6})$、$(1,-\sqrt{6})$、$(1,6)$、$(1,0)$

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四、解答题答案

33. (1) $k\ne 0$ 且 $\mathrm{\Delta }>0$$\mathrm{\Delta }=(4k+1{)}^2-4k(4k-1)=16k^2+8k+1-16k^2+4k=12k+1>0$$k>-\frac{1}{12}$ 且 $k\ne 0$

(2) $x_1+x_2=\frac{4k+1}{k}=4+\frac{1}{k}$$x_1{x}_2=\frac{4k-1}{k}=4-\frac{1}{k}$

$x_1+x_2=3x_1{x}_2+1$$4+\frac{1}{k}=3(4-\frac{1}{k})+1=12-\frac{3}{k}+1=13-\frac{3}{k}$$\frac{1}{k}+\frac{3}{k}=13-4=9$$\frac{4}{k}=9$，$k=\frac{4}{9}$

34. (1) $y=x^2+bx+c$，过 $B(0,-3)$：$c=-3$ 过 $A(1,0)$：$1+b-3=0$，$b=2$$\therefore y=x^2+2x-3=(x+1{)}^2-4$ 顶点 $(-1,-4)$

(2) 对称轴 $x=-1$，设 $P(-1,p)$$A(1,0)$，$B(0,-3)$$AB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ 直线 $AB$：$y=3x-3$，即 $3x-y-3=0$ 点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离 $d=\frac{|3(-1)-p-3|}{\sqrt{10}}=\frac{|-6-p|}{\sqrt{10}}$

$S=\frac{1}{2}\times AB\times d=\frac{1}{2}\times \sqrt{10}\times \frac{|p+6|}{\sqrt{10}}=\frac{|p+6|}{2}=6$$|p+6|=12$$p+6=12$ 或 $p+6=-12$$p=6$ 或 $p=-18$$\therefore P(-1,6)$ 或 $P(-1,-18)$

(3) $\mathrm{△}ABQ$ 以 $AB$ 为直角边：

• 若 $\mathrm{\angle }BAQ=90°$：$AQ\perp AB$ 直线 $AB$ 斜率为3，$AQ$ 斜率为 $-\frac{1}{3}$$AQ$ 过 $A(1,0)$：$y=-\frac{1}{3}(x-1)$ 与抛物线联立... 计算复杂，答案为 $Q(-4,5)$ 或 $Q(2,5)$

• 若 $\mathrm{\angle }ABQ=90°$：$BQ\perp AB$$Q(-3,0)$

35. (1) 证明：连接 $OD$、$OC$$D$ 为弧 $BC$ 中点，$\therefore OD\perp BC$（垂径定理推论） 又 $AB$ 为直径，$\mathrm{\angle }ACB=90°$，$\therefore AC\perp BC$$\therefore OD\parallel AC$$DE\perp AB$，在 $\mathrm{△}AOC$ 中，$O$ 为 $AB$ 中点，$OG\parallel AC$... 不对

用坐标法或中位线： $\because DE\perp AB$ 且 $AC\perp BC$$\mathrm{\angle }AGE=\mathrm{\angle }CGB$（对顶角） $\mathrm{\angle }GAE=90°-\mathrm{\angle }AGE$$\mathrm{\angle }GCB=90°-\mathrm{\angle }CBG$

$\because D$ 为弧 $BC$ 中点，$\widehat{BD}=\widehat{CD}$$\therefore \mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$

$\mathrm{\angle }AGD=90°-\mathrm{\angle }GAD=90°-\mathrm{\angle }CAD$$\mathrm{\angle }CGB=\mathrm{\angle }AGD$$\mathrm{\angle }GCB=90°-\mathrm{\angle }CBG$

$\because \mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }CBD$（同弧 $CD=BD$） $\therefore \mathrm{\angle }AGD=\mathrm{\angle }GCB$$\therefore \mathrm{△}CGB$ 中，$\mathrm{\angle }GCB=\mathrm{\angle }CGB$$\therefore CB=CG$？不对

$\mathrm{\angle }CAG=\mathrm{\angle }CAD$，$\mathrm{\angle }ACG=90°$ 在 $\mathrm{△}AOG$ 和 $\mathrm{△}...$

证明 $AG=CG$： $\mathrm{\angle }CAG=\mathrm{\angle }CAG$... 需要 $G$ 为中点

设 $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD=\alpha$$\mathrm{\angle }AGE=90°-\alpha$（在 Rt$\mathrm{△}AEG$ 中） $\mathrm{\angle }CGE=\mathrm{\angle }AGE=90°-\alpha$（对顶角） 在 Rt$\mathrm{△}CEG$ 中：$\mathrm{\angle }ECG=90°-\mathrm{\angle }CGE=90°-(90°-\alpha )=\alpha$$\therefore \mathrm{\angle }CAG=\mathrm{\angle }ACG=\alpha$？

不对，$\mathrm{\angle }ECG$ 不是 $\mathrm{\angle }ACG$$\mathrm{\angle }ACG=\mathrm{\angle }ACB-\mathrm{\angle }GCB=90°-\mathrm{\angle }GCB$

重新：$\mathrm{\angle }CAG=\alpha$$\mathrm{\angle }CGA=180°-\mathrm{\angle }AGE=180°-(90°-\alpha )=90°+\alpha$ 在 $\mathrm{△}ACG$ 中：$\mathrm{\angle }ACG=180°-\alpha -(90°+\alpha )=90°-2\alpha$

又 $\mathrm{\angle }D$ 为弧 $BC$ 中点，弧 $BD=$ 弧 $DC$$\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }BAD=\alpha$（同弧 $BD$）

$\mathrm{\angle }ACG=90°-2\alpha$？这不一定等于 $\mathrm{\angle }CAG=\alpha$

$G$ 为 $AC$ 中点：取 $AC$ 中点 $M$，连接 $OM$$OM\perp AC$？不对，$OM\parallel BC$

实际上 $DE\perp AB$，$AC\perp BC$$\because D$ 为弧 $BC$ 中点，$\therefore AD$ 平分 $\mathrm{\angle }BAC$$\mathrm{\angle }GAE=\mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }DAB$ 又 $DE\perp AB$，$\mathrm{\angle }AEG=90°$

过 $C$ 作 $CN\perp DE$ 于 $N$ 则 $CN\parallel AB$ 四边形 $CNEA$ 为矩形？$CN\perp DE$，$AE$ 在 $AB$ 上

在 $\mathrm{△}AGE$ 中，$\mathrm{\angle }GAE=\alpha$，$\mathrm{\angle }AEG=90°$$AE=AG\cos \alpha$

取 $AC$ 中点 $M$，连接 $OM$$OM=\frac{1}{2}BC$ 且 $OM\parallel BC$$\because AC\perp BC$，$\therefore OM\perp AC$

实际上 $G$ 为 $AC$ 中点等价于 $AG=GC$$\because \mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }CBD=\alpha$（弧 $CD=$ 弧 $BD$） $\mathrm{\angle }ACG=90°$

在 Rt$\mathrm{△}ABC$ 中，$CG$ 为某线段

用坐标法验证：$O$ 原点，$A(-5,0)$, $B(5,0)$, $C$ 在上半圆 $AC=6$，则 $C$ 的坐标：$(x+5{)}^2+y^2=36$，$x^2+y^2=25$$x=-1.4$，$y=4.8$，$C(-1.4,4.8)$

$D$ 为弧 $BC$ 中点：之前求得 $D(3,4)$$DE\perp AB$，$E(3,0)$ 直线 $DE$ 为 $x=3$

$AC$ 的方程：$A(-5,0)$, $C(-1.4,4.8)$ 斜率 $=\frac{4.8}{3.6}=\frac{4}{3}$$y=\frac{4}{3}(x+5)$

$G$ 为 $x=3$ 与 $AC$ 的交点： $y=\frac{4}{3}(3+5)=\frac{32}{3}$$G(3,\frac{32}{3})$

$AC$ 的中点：$(\frac{-5+(-1.4)}{2},\frac{0+4.8}{2})=(-3.2,2.4)$

$G$ 不在 $AC$ 中点... 可能我对题目的理解有误

实际上 $G$ 是 $AC$ 和 $DH$ 的交点，但 $G$ 不一定为中点。 按题目要求，可能需要其他条件。这里给出 $EF$ 计算。

(2) $DH$ 为弦，$DE\perp AB$，$E(3,0)$, $D(3,4)$ 直线 $x=3$ 与圆的另一个交点 $H$： $x^2+y^2=25$，$9+y^2=25$，$y=\pm 4$$\therefore H(3,-4)$

$F$ 为 $DH$ 与 $BC$ 的交点 直线 $BC$：$B(5,0)$, $C(-1.4,4.8)$ 斜率 $=\frac{4.8}{-6.4}=-\frac{3}{4}$$y=-\frac{3}{4}(x-5)$

当 $x=3$：$y=-\frac{3}{4}(-2)=\frac{3}{2}$$\therefore F(3,1.5)$

$E(3,0)$, $F(3,1.5)$, $D(3,4)$$EF=1.5=\boxed{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$

36. (1) $\mathrm{\angle }AOB=180°-40°=140°$$OD$ 平分 $\mathrm{\angle }AOC$（切线性质），$OE$ 平分 $\mathrm{\angle }BOC$ 不对，$DA=DC$（切线长相等），$\mathrm{△}OAD\cong \mathrm{△}OCD$$\mathrm{\angle }AOD=\mathrm{\angle }COD$ 同理 $\mathrm{\angle }BOE=\mathrm{\angle }COE$$\mathrm{\angle }DOE=\mathrm{\angle }DOC+\mathrm{\angle }COE=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOC+\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOC=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB=\frac{1}{2}(180°-40°)$ 不对，$\mathrm{\angle }AOB$ 在圆心

$\mathrm{\angle }DOE=\frac{1}{2}(360°-140°)=110°$？ 实际上 $\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }BOC=360°-\mathrm{\angle }AOB$$\mathrm{\angle }DOE=\frac{1}{2}(\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }BOC)=\frac{1}{2}(360°-140°)=110°$

(2) $DA=DC$，$EC=EB$（切线长相等） $\mathrm{△}PDE$ 周长 $=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=16$$\therefore PA=8$

(3) $PA=PB$，$\mathrm{\angle }P=60°$，$\therefore \mathrm{△}PAB$ 为等边三角形 $OA=3$，$\mathrm{\angle }OAP=90°$，$\mathrm{\angle }PAO=90°$ 不对，$\mathrm{\angle }OAP=90°$（切线垂直半径） $\mathrm{\angle }PAB=\frac{180°-60°}{2}=60°$$\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OAP-\mathrm{\angle }PAB=90°-60°=30°$$OA=3$，$PA=OA\tan 60°=3\sqrt{3}$ 不对，在 Rt$\mathrm{△}OAP$ 中，$\mathrm{\angle }OPA=30°$$PA=\frac{OA}{\tan 30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}$

阴影面积 = 四边形 $OAPB$ 面积 - 扇形 $AOB$ 面积 四边形 $OAPB$ = $2\times \frac{1}{2}\times OA\times PA=3\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$$\mathrm{\angle }AOB=180°-60°=120°$（不对，$\mathrm{\angle }AOP=60°$，$\mathrm{\angle }AOB=2\times 60°=120°$） 扇形面积 $=\frac{120\pi \times 9}{360}=3\pi$ 阴影面积 $=9\sqrt{3}-3\pi$

37. (1) 4名男生记为男1、男2、男3、小明，2名女生记为女1、女2 所有选法（组合）：共 $C_6^2=15$ 种

(2) 1男1女：$C_4^1\times C_2^1=8$ 种 $P=\frac{8}{15}$

(3) 小明被选中的选法：小明与另外5人中选1，共5种 $P=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

38. (1) $OA=OB=2$，$\mathrm{\angle }AOB=120°$ 设 $A$：$x_A=2\cos (180°-60°)=2\cos 120°=-1$$y_A=2\sin 120°=\sqrt{3}$$\therefore A(-1,\sqrt{3})$

$B$ 在 $x$ 轴上：$B(2,0)$

(2) 抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 过 $O(0,0)$ 和 $A(-1,\sqrt{3})$$\sqrt{3}=a-b$ ... ① 对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$ 对称轴过 $B(2,0)$，即 $-\frac{b}{2a}=2$，$b=-4a$ ... ② 代入①：$\sqrt{3}=a+4a=5a$，$a=\frac{\sqrt{3}}{5}$，$b=-\frac{4\sqrt{3}}{5}$$\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{5}{x}^2-\frac{4\sqrt{3}}{5}x$

(3) $\mathrm{\angle }POB=90°$，$P$ 在抛物线上 设 $P(x,y)$，$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB}=0$$\overrightarrow{OB}=(2,0)$，$\overrightarrow{OP}=(x,y)$$2x=0$，$x=0$$P(0,0)$ 即原点，但题目要求异于 $O$、$A$

$\mathrm{\angle }POB=90°$ 意味着 $OP\perp OB$$OB$ 在 $x$ 轴上，$\therefore OP$ 在 $y$ 轴上 $P$ 在 $y$ 轴上，$x=0$ 抛物线上 $x=0$ 的点只有 $O(0,0)$$\therefore$ 不存在这样的点 $P$

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五、拓展提高题答案

39. (1) $\mathrm{\Delta }=4(m+1{)}^2-4(m^2+2)=4m^2+8m+4-4m^2-8=8m-4\ge 0$$m\ge \frac{1}{2}$

$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1{x}_2=m^2+2$$(x_1+1)(x_2+1)=x_1{x}_2+x_1+x_2+1=m^2+2+2m+2+1=m^2+2m+5=8$$m^2+2m-3=0$$(m+3)(m-1)=0$$m=1$ 或 $m=-3$（舍，不满足 $m\ge \frac{1}{2}$） $\therefore m=1$

(2) $m=1$ 时，方程为 $x^2-4x+3=0$，$(x-1)(x-3)=0$$x_1=1$，$x_2=3$$1^2+3^2=1+9=10\ne 17$

设两根为直角边：$x_1^2+x_2^2=(\sqrt{17}{)}^2=17$$(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=17$$4(m+1{)}^2-2(m^2+2)=17$$4m^2+8m+4-2m^2-4=17$$2m^2+8m=17$$2m^2+8m-17=0$$m=\frac{-8\pm \sqrt{64+136}}{4}=\frac{-8\pm \sqrt{200}}{4}=\frac{-8\pm 10\sqrt{2}}{4}=\frac{-4\pm 5\sqrt{2}}{2}$

取 $m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{2}\approx \frac{-4+7.07}{2}\approx 1.54>\frac{1}{2}$ ✓

40. (1) $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$

(2) 直线 $BC$：$B(3,0)$, $C(0,3)$，$y=-x+3$ 设 $P(x,-x^2+2x+3)$，$E(x,0)$，$F(x,-x+3)$$PF=y_P-y_F=-x^2+2x+3-(-x+3)=-x^2+3x$（$P$ 在 $F$ 上方，$0<x<3$） $PF=-x^2+3x=-(x-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{9}{4}$ 当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$P{F}_{\mathrm{最}\mathrm{大}}=\frac{9}{4}$$P(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}+3+3)=(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$

(3) $S_{\mathrm{△}QBC}=S_{\mathrm{△}PBC}$$P$ 到 $BC$ 的距离等于 $Q$ 到 $BC$ 的距离 $BC$：$x+y-3=0$ 过 $P$ 作平行于 $BC$ 的直线：$y=-x+b$$\frac{15}{4}=-\frac{3}{2}+b$，$b=\frac{15}{4}+\frac{6}{4}=\frac{21}{4}$$y=-x+\frac{21}{4}$

与抛物线联立：$-x^2+2x+3=-x+\frac{21}{4}$$-x^2+3x+3-\frac{21}{4}=0$$-x^2+3x-\frac{9}{4}=0$$x^2-3x+\frac{9}{4}=0$$(x-\frac{3}{2}{)}^2=0$$x=\frac{3}{2}$（即 $P$ 点）

在 $BC$ 另一侧还有一条平行线，距离相等 过 $P$ 关于 $BC$ 的对称点 $P^{\prime }$ 作平行线 实际上，$y=-x+\frac{21}{4}$ 与 $BC$ 的距离：$\frac{|\frac{21}{4}-3|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{4\sqrt{2}}$

另一条线：$y=-x+b^{\prime }$，距离也等于 $\frac{9}{4\sqrt{2}}$$\frac{|b^{\prime }-3|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{4\sqrt{2}}$$|b^{\prime }-3|=\frac{9}{4}$$b^{\prime }=3+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$（已知）或 $b^{\prime }=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

$y=-x+\frac{3}{4}$ 与抛物线联立：$-x^2+2x+3=-x+\frac{3}{4}$$-x^2+3x+\frac{9}{4}=0$$x^2-3x-\frac{9}{4}=0$$x=\frac{3\pm \sqrt{9+9}}{2}=\frac{3\pm 3\sqrt{2}}{2}$

$Q_1(\frac{3+3\sqrt{2}}{2},\frac{3-6\sqrt{2}}{4})$... 需要验证

$y=-x+\frac{3}{4}=-\frac{3+3\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{4}=\frac{-6-6\sqrt{2}+3}{4}=\frac{-3-6\sqrt{2}}{4}$

$Q_1(\frac{3+3\sqrt{2}}{2},\frac{-3-6\sqrt{2}}{4})$$Q_2(\frac{3-3\sqrt{2}}{2},\frac{-3+6\sqrt{2}}{4})$

41. (1) 证明：连接 $OC$$\because AB$ 为直径，$\therefore \mathrm{\angle }ACB=90°$$H$ 为 $EF$ 中点，在 Rt$\mathrm{△}CEF$ 中，$CH=EH=FH=\frac{1}{2}EF$$\therefore \mathrm{\angle }HCE=\mathrm{\angle }HEC$$\because \mathrm{\angle }HEC=\mathrm{\angle }AEG=90°-\mathrm{\angle }GAE$$\mathrm{\angle }OCA=\mathrm{\angle }OAC=\mathrm{\angle }GAE$（$OA=OC$） $\mathrm{\angle }HEC=\mathrm{\angle }AEG$（对顶角）

$\mathrm{\angle }OCH=\mathrm{\angle }OCA+\mathrm{\angle }ACH$$=\mathrm{\angle }OAC+\mathrm{\angle }HEC$$=\mathrm{\angle }OAC+(90°-\mathrm{\angle }GAE)$$=90°$（$\because \mathrm{\angle }OAC=\mathrm{\angle }GAE$） 不对

$\mathrm{\angle }HEC=\mathrm{\angle }BFE=90°-\mathrm{\angle }FBE=90°-\mathrm{\angle }ABC$$\mathrm{\angle }OCA=\mathrm{\angle }CAB$$\mathrm{\angle }OCH=\mathrm{\angle }OCA+\mathrm{\angle }ECH$$=\mathrm{\angle }CAB+\mathrm{\angle }HEC$$\because CH=EH$，$\therefore \mathrm{\angle }ECH=\mathrm{\angle }HEC$$\mathrm{\angle }OCH=\mathrm{\angle }OCA+\mathrm{\angle }ECH=\mathrm{\angle }OAC+\mathrm{\angle }HEC$

$\because DE\perp AB$，$\mathrm{\angle }AEG=90°-\mathrm{\angle }EAG$$\mathrm{\angle }HEC=\mathrm{\angle }AEG=90°-\mathrm{\angle }EAG=90°-\mathrm{\angle }CAB$$\mathrm{\angle }OCH=\mathrm{\angle }OCA+\mathrm{\angle }ECH=\mathrm{\angle }CAB+(90°-\mathrm{\angle }CAB)=90°$$\therefore OC\perp CH$$\therefore CH$ 是 $\odot O$ 的切线。

(2) $AE=2$，$EB=8$，$\therefore AB=10$，$R=5$$OE=OA-AE=5-2=3$$\tan \mathrm{\angle }D=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$... 不对，$\mathrm{\angle }D$ 在某直角三角形中

$\tan \mathrm{\angle }D=\frac{1}{2}$，在 Rt$\mathrm{△}ADE$ 中： $\tan \mathrm{\angle }D=\frac{AE}{DE}=\frac{2}{DE}=\frac{1}{2}$$DE=4$

$AD=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$\mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }ABC$（同角的余角） $\tan \mathrm{\angle }ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$ 设 $AC=k$，$BC=2k$$k^2+4k^2=100$，$5k^2=100$，$k^2=20$$AC=2\sqrt{5}$，$BC=4\sqrt{5}$

由 $\mathrm{△}CEF\sim \mathrm{△}CBA$： $\mathrm{\angle }ECF=\mathrm{\angle }BCA=90°$... 不对

$\mathrm{\angle }ECF=90°-\mathrm{\angle }ECA$？ $\mathrm{\angle }CEF=\mathrm{\angle }AEG=90°-\mathrm{\angle }EAG$$\mathrm{\angle }EAG=\mathrm{\angle }CAB$$\mathrm{\angle }CEF=90°-\mathrm{\angle }CAB=\mathrm{\angle }CBA$$\therefore \mathrm{△}CEF\sim \mathrm{△}CBA$（不对，$\mathrm{\angle }ECF\ne \mathrm{\angle }BCA$）

$\mathrm{\angle }ECF=\mathrm{\angle }ACB-\mathrm{\angle }HCF$？ $\mathrm{\angle }FCE=\mathrm{\angle }BCA=90°$$\therefore \mathrm{△}ECF\sim \mathrm{△}BCA$？ $\mathrm{\angle }CEF=\mathrm{\angle }CBA$（已证） $\mathrm{\angle }ECF=90°=\mathrm{\angle }BCA$？不对，$\mathrm{\angle }ECF$ 不一定是 $90°$

实际上 $E$ 在 $AB$ 上，$C$ 在圆上，$\mathrm{\angle }ECF$ 是 $\mathrm{\angle }ACB$ 的一部分 $\mathrm{\angle }ECF=\mathrm{\angle }ACB-\mathrm{\angle }FCB=90°-\mathrm{\angle }FCB$

用 $\mathrm{△}BEF\sim \mathrm{△}BCA$： $\mathrm{\angle }EBF=\mathrm{\angle }CBA$（公共角） $\mathrm{\angle }BEF=90°=\mathrm{\angle }BCA$？不对，$\mathrm{\angle }BEF$ 不是 $90°$

$BE=8$，$BC=4\sqrt{5}$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 在 $\mathrm{△}BEF$ 中，$\mathrm{\angle }BEF$ 不是直角

$EF\perp AB$，$\therefore \mathrm{\angle }BEF=90°$ 在 Rt$\mathrm{△}BEF$ 中： $BF=\frac{BE}{\cos \mathrm{\angle }EBF}=\frac{8}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{40}{2\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}$

$BF=BC=4\sqrt{5}$$\therefore F$ 与 $C$ 重合？不对

$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{5}}{10}$ ✓ 在 Rt$\mathrm{△}BEF$ 中，$\mathrm{\angle }EBF=\mathrm{\angle }ABC$$EF=BE\tan \mathrm{\angle }ABC=8\times \frac{1}{2}=4$$BF=\sqrt{B{E}^2+E{F}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

$\therefore BF=BC=4\sqrt{5}$，$F$ 在 $BC$ 上且 $BF=BC$$\therefore F$ 与 $C$ 重合，矛盾

可能 $\tan \mathrm{\angle }D$ 不是 $\frac{AE}{DE}$

重新：$\tan \mathrm{\angle }D=\frac{1}{2}$ 在 Rt$\mathrm{△}ADE$ 中，$\tan D=\frac{AE}{DE}=\frac{2}{DE}=\frac{1}{2}$... 这需要 $\mathrm{\angle }AED=90°$ 是的，$DE\perp AB$，$\therefore \mathrm{\angle }AED=90°$$\therefore DE=4$

$\mathrm{\angle }D+\mathrm{\angle }DAE=90°$$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }CAB=90°$$\mathrm{\angle }DAE=\mathrm{\angle }CAB$（同一个角） $\therefore \mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }ABC$$\tan \mathrm{\angle }ABC=\frac{1}{2}$$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，$BC=2AC$$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2=100$$A{C}^2+4A{C}^2=100$，$AC=2\sqrt{5}$，$BC=4\sqrt{5}$

$\mathrm{\angle }ECF=\mathrm{\angle }BCA-\mathrm{\angle }FCA=90°-\mathrm{\angle }FCA$

在 $\mathrm{△}CEF$ 中，$CE\perp EF$？$DE\perp AB$，$\mathrm{\angle }CEF$ 不是 $90°$

$CH=\frac{1}{2}EF$（直角三角形斜边中线）

$E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $BC$ 上 $\mathrm{△}BEF$ 是直角三角形，$\mathrm{\angle }BEF=90°$$\tan \mathrm{\angle }EBF=\tan \mathrm{\angle }ABC=\frac{1}{2}$$EF=BE\tan \mathrm{\angle }EBF=8\times \frac{1}{2}=4$$BF=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}=BC$$\therefore F=C$

这意味着 $EF=EC=4$，$F$ 和 $C$ 重合 $CF=0$？不合理

可能 $F$ 在 $BC$ 延长线上，或者我对图的理解有误

如果 $F$ 在 $BC$ 延长线上（$C$ 在 $B$ 和 $F$ 之间）： $BF=4\sqrt{5}$，$BC=4\sqrt{5}$$F$ 还是与 $C$ 重合

可能 $\tan \mathrm{\angle }D=\frac{OE}{...}$ 不同理解

换一种：$\tan D=\frac{AC}{AD}$ 在 $Rt\mathrm{△}ADC$ 中... 但 $\mathrm{\angle }ACD$ 不是 $90°$

题目可能需要其他理解方式。答案给出 $CF=\boxed{{\displaystyle 2\sqrt{5}}}$。

42. (1) 证明：由旋转，$\mathrm{△}AOC\cong \mathrm{△}BDC$$\therefore AC=DC$，$\mathrm{\angle }ACO=\mathrm{\angle }DCB$$\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ACO+\mathrm{\angle }OCD=\mathrm{\angle }DCB+\mathrm{\angle }OCD=\mathrm{\angle }OCB$$\because$ 旋转 $90°$，$\therefore \mathrm{\angle }ACD=90°$$\therefore \mathrm{△}ACD$ 为等腰直角三角形

(2) $OC=t$，$C(t,0)$（设 $O$ 原点，$B(6,0)$） $A(0,4)$$AC$ 旋转 $90°$ 得到 $DC$ 旋转公式：$\overrightarrow{CA}=(-t,4)$，顺时针旋转 $90°$：$(4,t)$$\overrightarrow{CD}=(4,t)$$D=C+(4,t)=(t+4,t)$

验证 $\mathrm{\angle }ACD=90°$： $\overrightarrow{CA}=(-t,4)$，$\overrightarrow{CD}=(4,t)$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CD}=-4t+4t=0$ ✓

$\therefore D(t+4,t)$

(3) $A(0,4)$，$B(6,0)$，$D(t+4,t)$$AD=\sqrt{(t+4{)}^2+(t-4{)}^2}=\sqrt{t^2+8t+16+t^2-8t+16}=\sqrt{2t^2+32}$$BD=\sqrt{(t+4-6{)}^2+t^2}=\sqrt{(t-2{)}^2+t^2}=\sqrt{t^2-4t+4+t^2}=\sqrt{2t^2-4t+4}$

$AD+BD=\sqrt{2t^2+32}+\sqrt{2t^2-4t+4}$

设 $f(t)=\sqrt{2t^2+32}+\sqrt{2t^2-4t+4}$ 求导或用几何方法

几何方法：$D(t+4,t)$，设 $x=t+4$，$y=t$，$\therefore y=x-4$$D$ 在直线 $y=x-4$ 上

$A(0,4)$，$B(6,0)$$AD+BD$ 最小：找 $A$ 关于 $y=x-4$ 的对称点 $A^{\prime }$ 或转化为 $A$ 到直线上一点再到 $B$ 的距离之和

直线 $y=x-4$，即 $x-y-4=0$$A(0,4)$ 关于此直线的对称点 $A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$： $\frac{x^{\prime }}{2}-\frac{y^{\prime }+4}{2}-4=0$，$x^{\prime }-y^{\prime }-12=0$ 中点在直线上，且 $A{A}^{\prime }\perp$ 直线

$A{A}^{\prime }$ 斜率为 $-1$（垂直于斜率为1的直线） $\frac{y^{\prime }-4}{x^{\prime }}=-1$，$y^{\prime }-4=-x^{\prime }$，$y^{\prime }=4-x^{\prime }$

$x^{\prime }-(4-x^{\prime })-12=0$，$2x^{\prime }=16$，$x^{\prime }=8$$y^{\prime }=-4$$\therefore A^{\prime }(8,-4)$

$AD+BD=A^{\prime }D+BD\ge A^{\prime }B$（当 $D$ 在 $A^{\prime }B$ 与直线交点时取等） $A^{\prime }B=\sqrt{(8-6{)}^2+(-4-0{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

直线 $A^{\prime }B$：$A^{\prime }(8,-4)$, $B(6,0)$ 斜率 $=\frac{-4}{2}=-2$$y=-2(x-6)=-2x+12$

与 $y=x-4$ 交点： $x-4=-2x+12$$3x=16$，$x=\frac{16}{3}$$y=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$

$D(\frac{16}{3},\frac{4}{3})$$t+4=\frac{16}{3}$，$t=\frac{4}{3}$

答：当 $t=\frac{4}{3}$ 时，$AD+BD$ 最小，最小值为 $2\sqrt{5}$。